PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

dans laquelle les valeurs de d^^ ^4» ^?? ^^^-^ devant demeurer indéterminées, il faudra que Ton ait séparément les équations.

dont le nombre sera égal à celui des variables ^, 4? ?? etc. , et qui serviront, par conséquent, à déterminer toutes ces variables.

Chacune de ces équations représente, comme l'on voit, un équilibre particulier, dans lequel les vitesses virtuelles ont entre elles des rapports déterminés ; et c'est de la réunion de tous ces équilibres partiels que se forme l'équilibre général du système.

On peut même remarquer que c'est proprement a ces équilibres partiels et déterminés que s'applique, sans exception, le raisonnement de l'art. 1 de cette section; et, comme dans le cas de deux puissances on peut toujours réduire leur équilibre à celui d'un levier droit dont les bras soient en raison des vitesses virtuelles, on peut, par ce moyen, faire dépendre le principe général des vitesses virtuelles du seul principe du levier.

i4. Lorsque la quantité Pdp -f- Qdq -+- Rdr H- etc., ne sera pas nulle par rapport à toutes les variables indépendantes, les forces P, Q, R, etc. , ne se feront pas équilibre, et les corps sollicités par ces forces prendront des mouvements dépendants des mêmes forces et de leur action mutuelle.

Supposons que d'autres forces représentées par P', Q', R', etc. , et dirigées suivant les lignes /?', q\ r', etCr, agissant sur les corps du même système, leur impriment aussi les mêmes mouvements ; ces forces seront équivalentes aux premières, et pourront, dans tous les cas, être substituées à leur place, puisque leur effet est supposé exactement le même. Or, si ces mêmes forces P'î Q'î R'î etc., en conservant leurs valeurs, changeaient leurs directions et en prenaient de directement opposées, il est clair qu'elles imprimeraient aussi aux mêmes corps des mouvements égaux, mais directement contraires. Par

conséquent, si dans ce nouvel état elles agissaient sur les corps du même système en même temps que les forces P, Q, R, etc., ces corps demeureraient en repos, les mouvements imprimés dans un sens étant détruits par des mouvements égaux et contraires. Il y aurait donc nécessairement équilibre entre toutes ces forces, ce qui donnerait l'équation (art. 2) :

Prf/? + Qrfç H- Rrfr + . . . — P'^' — Q!dq'— R'rfr' — . . . = o ;

d'où l'on tire

Vdp + (^dq -+. Rrfr-f- . . . = P'rf/ + Q'^' + R'rfr' -+-....

C'est la condition nécessaire pour que les forces P', Q', R', etc. , agissant suivant les lignes/?', q\ r\ etc. , soient équivalentes aux forces P, Q, R, etc. , agissant suivant les lignes /?, /?, r, etc. ; et, comme deux système^ de forces ne peuvent êti'e entièrement équivalents (*) que d'une seule manière, puisque le mouvement d'un corps est toujours unique et déterminé, il s'ensuit que si deux systèmes de forces P, Q, R, etc., P', Q', R', etc., sont tels, que l'on ait généralement, et par rapport à toutes les variables indépendantes, l'équation

Prf/? + Q^^4-Rrfr+ ... =PW/-hQ'rf(7'-hRV/

ces deux systèmes seront équivalents, et pourront, dans tous les cas, être substitués l'un à l'autre.

15. Il résulte de là ce théorème important de Statique, que deux systèmes de forces sont équivalents, et peuvent être substitués l'un à l'autre dans un même système de corps liés entre eux d'une manière quelconque, lorsque les sommes des moments des forces sont toujours égales dans les deux sys* tèmes; et réciproquement, lorsque la somme des moments des forces d'un système est toujours égale à la somme des moments des forces d' un autre système, ces deux systèmes de forces sont équivalents, et peuvent être substitués l'un à l'autre dans le même système de corps.

(^) C'est-à-dire que deux systèmes qui sont équivalents, en ce sens qu'ils font équilibre à un même troisième , peuvent être , par cela même , considérés comme complètement équivalents.

(7. Bertrand.)