PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. /j
duisant, pour une des variables indépendantes, l'angle de rotation autour de Taxe donné; le coefficient de la différentielle de cet angle sera la somme de tous les moments relatifs à cet axe, ce qui peut être utile dans plusieurs occasions.
8. Lorsque le système peut tourner en tout sens autour du point que nous prenons pour l'origine des coordonnées, il faut considérer à la fois les rotations instantanées autour des trois axes a:, j, z, et Ton aura, par rapport à chacun de ces axes, une équation semblable à celle que nous venons de trouver, et qui renferme la propriété des moments ; mais il ne sera pas inutile de résoudre le même problème par une analyse plus simple et plus générale.
Pour cela soit, comme dans Tart. 5,
a: = pcos^, /=psinç, .r'=p'cos^', j-'= p'sin^', . . . ;
en faisant varier simplement les angles 9, ^\ etc. , de la même différence d<p^ on aura
CET = — xdq^f dy ^= xd<Py dx'=i* — x'd^^ rfy''=a;'rf^,
Ce sont les variations de a?, j, x\ y\ etc., dues à la rotation élémentaire d^ du système autour de Taxe des z.
On aura de même les variations de /, z, j% z\ etc. , dues à une rotation élémentaire d^ autour de Taxe des x^ en changeant simplement dans les formules précédentes ^, j, x' ^ j', etc., en j, 2, j', z\ etc., et d(^ en d'\^ ce qui donnera
dy =^ — zdAf^ dz=iyd'\^ dy' =^ — z' d-^^ dz'^^^y'd-^,
En changeant dans ces dernières formules/, z, /', 2', etc., respectivement en z, Xy z', x\ etc. , et d'^ en rfa>, on aura les variations provenant de la rotation élémentaire da> autour de Taxe des j, lesquelles seront
flfe = — xda>y dxr=zzda, dz* =- — x' dcù^ ^1»'=^= z'rfoi,
Si donc on suppose que les trois rotations aient lieu à la fois (*) , les varia-
(*) Ed réalité, les trois rotations ne peuvent avoir lieu à la fois, mais successivement. Il n'y a cependant, aucun inconvénient à les considérer, dans le calcul, comme aiaiiiltanées, car chacune
tions totales des coordonnées x, j*, z, x\ y\ z', etc., seront, d'après les principes du calcul différentiel , égales aux sommes des variations partielles dues à chacune de ces rotations, de sorte qu'on aura alors ces expressions complètes :
dx = zdcû — yd^i dy = xd(^ — zdA^^ dz = yd'\ — xdco^ rilr'= z' dcû — y' d(p^ dy^ = x' d<p — z d'],^ dz^ z=y'd'^ — x'doj,
En substituant ces valeurs dans la formule générale de l'équilibre (art. 2), on aura les termes dus seulement aux rotations ^4' dà>, d(p autour des trois axes Xj y, Zj lesquels devront être séparément égaux à zéro lorsque le système a la liberté de tourner en tout sens autour du point qui fait T origine des coordonnées.
Or on a, par la différentiation,
, {x — a)dx+(jr~b)dy'^{z — c) dz ^ P p
dn'= (x'-a')dx*^(y-y)dy^[z'-c')dz^
r {x — x) (dx — dx) + {y — y)(dy — dy)^(z — z) (dz — dz) ^
On aura donc, par les substitutions dont il s'agit,
, (ay — bx) d(f -f- (bz — cy) é/cf' -H (^^ — az)d(ù
, ia'y' - Vx^) d%( -h {Vz' — c'y') d^ -h (c'x' — a' z') dfù
dp = -7^ >
Et l'on trouvera dp=^o^ dp' ^= o, etc., en mettant pour dx^ dy^ dz^ etc.,
d'elles changeant infiniment peu la position du corps , ne peut exercer, sur les déplacements que les autres produisent , qu'uoe influence infiniment petite , et ne modifie le mouvement dû à ces autres rotations que d^one quantité infiniment petite par rapport à sa propre valeur. (/. Bertrand, )
les valeurs analogues zdc^ — yd^^ ^d^ — 2^4, yd'^ — xdco^ etc.; d'où
l'on peut tout de suite conclure que les ternies P^, ^'dp\ etc. , de la même équation, qui résulteraient des forces intérieures du système, disparaîtront par ces substitutions.
On aura aussi «^ = o, si l'on fait a = o, 6 = 0, c = o, c'est-à-dire si le centre des forces P tombe dans l'origine des coordonnées, ce qui fera aussi disparaître cette force.
9. Faisant donc abstraction des forces intérieures, s'il y en a, ainsi que de toute force qui serait dirigée vers le centre des coordonnées, on aura, en général, pour toutes les forces P, P^ etc., dirigées suivant les lignes />, p\ etc., l'équation
en faisant
j^ P(cx — az) V'(c'x' — a'z')
^ ^ P(ar-M ^ V'(ay-b'x')
et l'on aura, pour tout système libre de tourner en tout sens autour de l'origine des coordonnées, les trois équations L = o, M = o, N = o, lesquelles répondent à celle de l'art. S, rapportée aux trois axes des coordonnées.
Car, en employant, à la place des coordonnées a, 6, c, a', etc. , des centres de forces, les angles a, |3, 7, a', etc., que les directions de ces forces font avec les trois axes des coordonnées; et faisant par conséquent, comme dans l'art. 7 de la section précédente.
a=a? — p cas ccy è=j — /?cos|3, c = z — /^cos^, et ainsi des autres quantités semblables, on a
L = P(jcos7 — zcos^) + P'(j'cosy'— z'cosjî') -h . - ., M = P (2 cos a — X COS7) -h P' {z cos af — a?' cosy') 4- . • . > N = P(j:cosp —/cos a) + P'(a:'cos^' — y'cosa') -h
Méc. anal. I. 7
5o MECANIQUE ANALYTIQUE.
Or, Pcosa, Pcos|3, Pcos^, étant les valeurs de la force P, estimée suivant les directions des trois axes des x^ y^ z, on voit tout de suite que ^P cos |3 — yV cos a sont les moments relatifs à l'axe des z, le terme j^P cos « ayant le signe négatif à cause que la force P cos a tend à faire tourner le système en sens contraire de la force Pcos^. De même, z Pcosa — orPcos-y seront les moments relatifs à l'axe des j^, et jP cos y — zP cos |3, les moments relatifs à Taxe des x\ et ainsi des autres expressions semblables. De sorte que les trois équatioQs L = o, M = o, N = o expriment que la somme de ces moments est nulle par rapport à chacun des trois axes.
On voit aussi que les coefficients L, M, N des rotations instantanées d'\^ dcùj dç ne sont autre chose que les moments relatifs aux axes des rotations instantanées rf4> deo, d<p {^vt. 7).
10. On pourrait douter si les rotations autour des trois axes des coordonnées suffisent pour représenter tous les petits mouvements qu'un système de points peut avoir autour d'un point fixe, sans que leur disposition mutuelle en soit altérée- Pour lever ce doute, nous allons chercher tous ces mouvements d'une manière plus directe.
Par le point donné, qui sert d'origine aux coordonnées jr, j, z, et par un autre point du système, imaginons une ligne droite, et par cette ligne et par un troisième point du système, un plan ; rapportons à cette ligne et à ce plan les autres points du système, par de nouvelles coordonnées rectangles x', j*', z\ ayant la même origine que les premières a?, j, z. Il est clair que ces nouvelles coordonnées ne dépendront que de la situation mutuelle des points du système, et seront, par conséquent, constantes lorsque le système change de place, tandis que les premières varient seules par ce changement.
La théorie connue de la transformation des coordonnées donne d'abord ces relations entre les trois premières et les trois dernières :
oo=ax' -+- ^X' -+-7^'j
Les neuf coefficients a^ ^, 7, a', etc., ne dépendent que de la position respective des axes des deux systèmes de coordonnées, et doivent être tels,
