PREMIÈRE PARTIE. — L4 STATIQUE. 5l

que les coordonnées a;, j, z se rapportent aux mêmes points que les coordonnées a?', jr\ z\ et que, par conséquent, les deux expressions

x^ -hf^ -+- z^ et x'^ 4- /'* -h z^"" soient identiques, ce qui donne ces six équations de condition,

a|3-ha'|3'-f-a''^''=^o, «y + a'y' +«">''' = o, jây -f- |3'>'-h (3V'= <>;

de sorte que parmi les neuf quantités a, |3, 7, a', etc., il en restera trois d'indéterminées.

Lorsque les axes des x\y\ z' coïncident avec ceux des a:, j, z, on a

et, par conséquent,

Ainsi, en différentiant les formules précédentes et y faisant ensuite ces substitutions, on aura le résultat d'un déplacement quelconque infiniment petit du système dans Fespace autour du point donné.

On aura d'abord, en différentiant les expressions de x^ j, z dans l'hypothèse de x\ /', z' constantes, et substituant, après la différentiation, .r, /, z à la place de ces quantités,

dx^=:^xdoL -^yd^ H- zé/7, dy = xdoL -hyd^^ + zdy^ dz =a?rfa"-hj6i|3''+ zdy^\

Mais les six équations de condition étant différentiées donnent, par la substitution des valeurs a=i,]9=^o, 7 = 0, etc. , trouvées ci-dessus,

d(x = o, rfp'=o, dy^^=^Oj

d^ -+- da =0, dy-h d(x" = o, dy' -h d&" = o, d'où

da' = — rfp, da'' = — dy, d^' = — dy\

Ces valeurs étant substituées dans les expressions de dx^ dy^ dz^ on aura

celles-ci :

dx = —y dot! + zdy^ dy = xda' — zd^'\ dz=^ — xdy -hyd^'^

qui coïncident avec celles de Tart. 8, en faisant

da' = d^, dy = dcû^ d^'^ = d'\.

Ces formules des variations dé a?, /, z ont donc toute la généralité que l'état de la question peut comporter; et les trois équations L = o, M = o, N = o, qui résultent de l'évanouissement des termes affectés de ^4» ^^» ^^ dans l'équation générale de l'équilibre, sont, par conséquent, les seules nécessaires pour maintenir le système en équilibre autour du point donné, abstraction faite de ce qui dépend de la disposition mutuelle des points entre eux. De sorte que, lorsque cette disposition est invariable, l'équilibre du système ne dépendra que des trois équations dont il s'agit.

D'Alembert est le premier qui ait trouvé les lois de l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de points de forme invariable, dans ses Recherches sur la Précession des équinoxes. Il y est parvenu d'une manière très-compliquée par la composition et la décomposition des forces. Depuis, elles ont été démontrées plus simplement par divers auteurs ; mais nos formules ont l'avantage d'y conduire directement.

§111. — De la composition des moiwements de rotation autour de différents

axes, et des moments relatifs à ces axes.

11. Si l'on prend dans le système un point pour lequel les coordonnées Xy j, Z soient proportionnelles à é/4> dc^y rfç, les différentielles correspondantes dvj dy, dz seront nulles, comme on le voit par les formules de l'art. 8. Ce point, et tous ceux qui auront la même propriété, seront donc immobiles pendant l'instant que le système décrit les trois angles ^4? dcû, d<p^ en tournant à la fois autour des axes des Xj j, z. Et il est facile de voir que tous ces points seront dans une ligne droite passant par l'origine des coordonnées (*), et faisant avec les axes des x^ j, s, des angles ^, /u^ v, tels

(*) En rapprochant ce résultat de ceux qui ont été obtenus dans le paragraphe précédent^ on voit qu'un mouvement quelconque infiniment petit d'un corps solide qui a un point fixe, peut être considéré comme une rotation autour d'un axe. Ce beau théorème est dû à Euler, qui en a donné