PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. 6l

corps qui leur sont proportionnelles, et les quantités .r, y, z, x\ j', z', x", etc. , sont les coordonnées rectangles de ces corps. Or nous avons vu (art. 19) que lorsque l'origine des coordonnées est dans le centre de gravité, les trois quantités X, Y, Z sont nulles. Si donc on fait dans les trois équations précédentes X = o, Y = o, Z = o, qu'on les ajoute ensemble, et qu'on suppose, pour abréger,

{X -fY^{y-gy+{z -hy={o)\

{x' -fy-h (/ - sY+iz' - hy = {iy, {x"-fy^ (/'- gy-^ {z"-hy= (2)%

(^ - ^'r 4- (r -yy + (^ - zy = {o,iy,

{X - x'y -i-ix- yy -h{z- zy = (0,2)%

{x'-xy+{y-xy-h{z'-zy={i,iiy,

on aura, après avoir divisé par (P •+- P'-+- P'^ + • •)"?

, P(o)'-i-P^(i)'-hP^^(a)'+,.. PP^(o,i)'-hPP^^(o,2 )' +FP^^(i,2) '-h. .^

Si l'on prend maintenant les trois quantités y*, g, h pour les coordoiniées rectangles d'un point donné; il est visible que r sera la distance de ce point au centre de gravite qui est supposé dans l'origine des coordonnées, que (o), (i), (2), etc., seront les distances des poids P, P', P'^, etc., à ce même point , et que (0,1), ( o , 2 ) , ( i , a ) , etc . , seront les distances entre les corps ou poids P et P' , P et P'', P' et P^', etc. Donc l'équation ci-dessus deviendra

r»=B — A, d'où l'on tire

$y. — Propriétés de l'équilibre, reUuii^es aux maxima et minima.

21. Nous allons considérer maintenant les modima et minima qui peuvent avoir lieu dans l'équilibre; et, pour cela, nous reprendrons la formule

générale

^dp H- Ç^dq -h Rrfr + . . . = o

de l'équilibre entre les forces P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes /?, ^, /•, etc. , qui aboutissent aux centres de ces forces (sect. II, art. 4).

On peut supposer (*) que ces forces soient exprimées de manière que la quantité Pû^H-Q^H-Rrfr-h- .soit une différentielle exacte d'une fonction de/7, (/, r, etc. , laquelle soit représentée par n, en sorte que Ton ait

û?n = Pc^ H- Qrfçf -h R^ -^

Alors on aura pour l'équilibre cette équation rfll = o, laquelle fait voir que le système doit être disposé de manière que la fonction n y soit, généralement parlant, un maximum ou un minimum.

Je dis généralement parlant; car on sait que l'égalité d'une différentielle à zéro n'indique pas toujours un maximum ou un minimum, comme on le voit par la théorie des courbes.

La supposition précédente a lieu, en général, lorsque les forces P, Q, R, etc., tendent réellement ou à des points fixes, ou à des corps du même système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances; ce qui est proprement le cas de la nature.

Ainsi, dans cette hypothèse de forces, le système sera en équilibre lorsque la fonction II sera un maximum ou un minimum; c'est en quoi consiste le piûncipe que Maupertnis avait proposé sous le nom de loi de repos.

Dans un système de corps pesants en équilibre, les forces P, Q, R, etc., provenant de la gravité, sont, comme l'on sait, proportionnelles aux masses des corps, et, par conséquent, constantes ; et les distances/?, 9, r, etc. , concourent au centre de la terre. On aura donc, dans ce cas,

n = P/? -+- Qy -h Rr -h . . . ;

par conséquent, puisque les lignes/?, q^r^ etc., sont censées parallèles, la quantité p ^^ — ^ exprimera la distance du centre de gravité de tout

f*) Lagrange ne veut pas dire qu'il en soit toujours ainsi; il prévient seulement que les dévf»lnpportients qui suivent se rapportent au cas où cela a lieu. (/. Bertrand. )