PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

le système au centre de la terre ; laquelle sera donc un minimum ou un maximum^ lorsque le système sera en équilibre; elle sera, par exemple, un minimum dans le cas de la chaînette, et un maximum dans le cas de plusieurs globules qui se soutiendraient en forme de voûte. Ce principe est connu depuis longtemps.

22. Si, maintenant, on considère le même système en mouvement, et que u\ u'\ u"\ etc., soient les vitesses, et /n', ml' ^ m'" ^ etc., les masses respectives des différents corps qui le composent, le principe si connu de la conservation des forces vives, dont nous donnerons une démonstration directe et générale dans la seconde partie, fournira cette équation

m'u"'^m"u"^'\'m'"u"'''^ ..-. = const. — 211.

Donc, puisque dans Tétat d'équilibre la quantité n est un minimum ou un maximum, il s'ensuit que la quantité m'u^^ + m" u^''^ -h m'"«/."'^H~ . . . , •qui exprime la force vive de tout le système, sera en même temps un maximum ou minimum; ce qui donne cet autre principe de Statique, que de toutes les situations que prend successivement le système, celle oà il a lapins grande ou la plus petite force vive, est aussi celle où, il le faudrait placer d'abord pour qu'il restât en équilibre. Voyez les Mémoires de V Acojdémie des Sciences de 1 748 et 1 749 (*).

25. On vient de .voir que la fonction n est un minimum ou un matimunt, lorsque la position du système est celle de l'équilibre ; nous allons maintenant démontrer que si cette fonction est un minimum^ l'équilibre aura de la stabilité; en sorte que le système étant d* abord supposé dans l'état d'équilibre, et venant ensuite à être tant soit peu déplacé de cet état, il tendra de lui-même à s'y remettre, en £dsant des oscillations infiniment petites : qu'au contraire, dans le cas où la même fonction sera un maximum, l'équilibre n'aura pas de stabilité, et qu'étant une fois troublé, le système pourra faire des oscillations qui ne seront pas très-petites, et qui pourront l'écarter de plus en plus de son premier état.

(*) Ce principe y est énoncé, sans démonstration suffisante, par un géomètre peu connu, noinnie de Coortivron. Lagrange le citait dans la première édition de son ouvrage; dans la seconde, il a tait disparaître son nom pour y substituer la date du Mémoire. ( /. Bertrand, )

Pour démontrer cette proposition d'une manière générale, je considère que, quelle que puisse être la forme du système, sa position, c'est-à-dire celle des différents corps qui le composent, sera toujours déterminée par un certain nombre de variables, et que la quantité n sera une fonction donnée de ces mêmes variables. Supposons que, dans la situation d'équilibre, les variables dont il s'agit soient égales à a, è, c, etc. , et que, dans une situation trèsproche de celle-ci, elles soient a-h x, b-hfy c^ z^ etc. , les quantités a:, y y z, etc., étant très -petites ; substituant ces dernières valeurs dans la fonction n , et réduisant en série , suivant les dimensions des quantités très-petites .r, j, z, etc., la fonction n (*) deviendra de cette forme :

n = A 4- Ba? -h G j H- Dz -h . . .