Gooune, en supposant dx constant, on a

•^ 2r' *^ dx*^ * ' . dx^ dx*

on voit qu'il suffit de &ire varier dans les fimctions U, L, etc. , les variables j, z^ etc., avec leurs différentielles; on aura ainsi, en employant, avec la caractéristique J^, la notation des différences partielles,

-h 3- J'z H- T-r d^z -h T-TT- d^^z-h . . . ,

vz odz od^z '

et si l'on veut avoir égard en même temps à la variation de x^ il n'y aura qu'à ajouter à l'expression de ^U le terme j-^UJ'a:, et changer iy en

Jy — ^ ^^> ^^ en J'z — ^ ^x^ etc.

De cette manière, on aura d'abord, après les réductions,

i.JVidx=:J{t8y'^^Sz'^ ...)dx

r'jy + r'^d^X + . . . h- w'Sz + v^'dSz + . . . ,

PREHiàRE PARtIB. — LA STATIQUE. 87

en faisant

„;, âV

âdz 'd3*z

et pour avoir égard ensuite à la variation de Xj on ajoutera, dans tous les termes, — ^ ^^ ^ ^fy ®* — iS ^"^ ^ ^^*

24. Telle est la méthode générale pour les problèmes de maximis et minimis, relatifs aux formules intégrales indéfinies auxquelles le calcul des variations a été d'abord destiné ; et l'on voit qu'en faisant même varier toutes les variables, elle ne donne cependant qu'autant d'équations moins une qu'il y a de variables, ce qui est d'ailleurs conforme à la nature de la chose, puisque ce n'est pas la valeur individuelle de chacune des variables qu'on cherche, comme dans les questions ordinaires de maximis et minimis, mais des relations indéfinies entre ces variables, par lesquelles elles deviennent fonctions les unes des autres, et peuvent être représentées par des courbes à simple ou à double courbure.

25. Appliquons maintenant la même méthode aux problèmes de la Mécanique, et supposons, pour plus de simplicité, que la formule

^dp H- Qrfy H- Kdr -h . . .

soit intégrable, et que son intégrale soit n, comme dans l'art. 21 de la sect. III ; on aura aussi

88 M^ÀNIQUE ANALYTIQUE.

et réquation générale de l'équilibre (art. 13) deviendra

S{Sndm -h ?iSL-h luSM ■+- .. .) = o,

en faisant ici abstraction des équations de condition relatives à des points

déterminés.

Comme la masse de chaque particule dm du système ne doit pas varier

pendant que la position du système varie, il faudra supposer Sdm = o, et

par conséquent (TL = S dm.

Ijorsque le système est linéaire, on a, en général, dm = UcLv, U étan^

une fonction comme dans l'art. 20; on aura donc

SL = SVdjc H- VSdx, et la formule SaJ'L donnera sous le signe les termes

(SeT^ -f- r^ii -h ^^v) dx,

dans lesquels on aura (art. 22)

S=(ArfU — e/.AU)^,

26. Donc, s'il n'y a point d'autre condition, l'équation provenant des ternies sous le signe S sera

Sudm -h (SiTa; + Y^U h- Wèv) dx = o,

qu'on devra vérifier séparément par rapport à chacune des variations S.i\ Sf, Sz.

Or, 11 étant une fonction de x, y, z, on a

et comme

Su = Sy — -^ ^x, ^i; = Sz — ^ Sx,