PREMIÈRE PARTIE. . — LA STATIQUE
Ici, la valeur de dm sera de la forme Udûcdy, et Ton aura, par conséquent (art. 54),
^rfm = ( J^U H- U ^ 4- U ^) dxdy.
Substituant cette valeur, ainsi que celle de ^U de l'art. 33, dans la formule intégrale SSASc;^m, et faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences des variations S^x, ^j, Su, il ne restera sous le double signe que les termes
(EcTj? -h rSx -h W^u)dœdx,
dans lesquels
==K^)-(^)=-"(ê> ^=Kf)-(^)=-"(f)'
^ — dz \dx) \dy ) ^\dx* )
en conservant les valeurs de U', U,, U", U' , etc., de l'art. 34.
Ajoutons à ces termes ceux qui proviennent de l'intégrale SSSn^^m, savoir, en substituant les valeurs de Sn et ^m, .
(a?«-^f«^ + fM"<^''r.
et remettons pour Sw sa valeur S- — ^ ^^ — J" ^7 (^^^- 5*) ' l'équation
générale de l'équilibre contiendra, sous le double signe SS, les termes suivants, ordonnés par rapport aux variations Ix, S/, Sz,
Méc, anal. I. i3
gS MECANIQUE ANALYTIQUE,
d'où l'on tire les trois équations
dz
La dernière donne V = — U -r- > et cette valeur étant substituée dans les
dz
deux autres, on a, après avoir divisé par U,
dïl dU dz (d\\
dx ^ dz dy \dx) ~^'
dxv dn dz rdx\
dy dz dy \dy)~^'
La première donne A = Il-i- fonct. y ; la seconde donne A = IIH- fonct. x ; donc on aura A = n -f- a, a étant une constante. Substituant cette valeur dans l'équation générale de l'équilibre, elle deviendra
SS(J'.nrfm -haeTrfm) = o, savoir,
J'.SSnrfm + aJ'.SSe/m = o,
équation du mcusùmim ou minimum de la formule intégrale SSn^m, parmi toutes celles dans lo^quelles la valeur de la formule SS^^m est la même.
Ainsi voilà le problème de Mécanique (*) réduit à une simple question de mxuoùnis et minimis, dont la solution ne dépend que de la variation de la seule coordonnée z, qui est supposée fonction de x^ y (art. 55).
On pourra étendre cette théorie aux formules intégrales tripleft^ et en déduire des conclusions semblables.
(*) Dans un système superficiel de particules, ou, en d*autres termes, dans une surface flexible, non-seulement les éléments superficiels restent invariables, mais aussi les éléments linéaires; il en résulte, comme M. Gauss Ta fait voir, que le prodm't des rayons de courbure conserve en chaque point une valeur constante. Lagrange laisse de côté ces conditions, et les équations qu*il obtient ne peuvent pas être regardées , par conséquent , comme la traduction exacte du problème. Voyez un Mémoire de M. Gauss, Commentaires de GoUingue, tome VI; ce Mémoire a été réimprimé à la suite de la cinquième édition de la Géométrie analytique de Monge. (/. Bertrand,)
