CHAPITRE PREMIER

DE l'ÉQUILIBI^ de PLUSIEURS FORCES APPLIQUÉES A UR MÊME POINT DE LÀ COMPOSITION ET DE LÀ DÉCOMPOSITION DES FORCES.

I . Soit proposé de trouver les lois de l'équilibre d'autant de forces qil'on voudra, P, Q, R, etc., toutes appliquées à im même point, et dirigées vers des points donnés.

Nommant /?, q, r, etc., les distances rectilignes entre le point commun d'application de ces forces et leurs points de tendance, on aura la formule

Pfl^ -h Qrf^ H- Rrfr -h . . .

pour la somme des moments de toutes les forces, laquelle doit être nulle dans l'état d'équilibre.

Soient x^ j, z les trois coordonnées rectangles du p^int auquel toutes les forces sont appliquées; et soient de même a, 6, e les coordonnées rectangles du point auquel tend la force P ; /i g-, A , celles du point auquel tend la force Q ; Ij rrij riy celles du point auquel tend la force R, et ain$i des autres ; ces coordonnées étant toutes rapportées aux mêmes axes fixes dans l'espace. On aura évidemment

r=y/{x-iy-^{X-my-h{z-ny,

Et ia quantité P dp -h Qdq -\- Kdr -h ■ > . se transformei-a en celle-ci :

Xdx -^ Y ify -h Zdz,

dans laquelle on aura

Il n'est pas inutile de remarquer dans ces expressions que les quantités

~^ ' ""T-^ ' —y^' sont égales aux cosinus des angles que la ligne/?, c'est-àdire la direction de la force P, fait avec les axes des x, j, z ; que, de même,

"~^ — ' "-J— » —Z- sont les cosinus des angles que la direction de la force Q fait avec les mêmes axes; et ainsi de suite (sect. II, art. 7).

§ I- — ^« l'équilibre d'un corps ou point tiré par plusieurs forces .

2. Cela posé, supposons en premier lieu que le corps ou point auquel les forces P, Q, R, etc., sont appliquées, soit entièrement libre; il n'y aura alors aucune équation de condition entre les coordonnées a?, j, z, et la quantité \dx + Ydjr -h Zrfz devra être nulle, indépendamment des valeurs de fltr, dy^ dz (sect. II, art. 10) ; ce qui donnera sur-le-champ ces trois équations particulières ; #

Ce sont les équations qui renferment les lois de l'équilibre de tant de forces qu'on voudra, concourantes à un même point.

3. Si, dans les expressions de X, Y, Z, on fait P =/?, Q = ^, R = r, etc. , ce qui est permis, puisqu'il est indiftëient à quels points pris dans les directions des forces elles soient supposées tendre, on aura ces équations

^ — a-}-x—f^x— /+... = o, /-~*-f-r — ê'H-J— /w+ ... = o, z —c -Jr z -^ h -h z~n-^ =o;