IL
et ces expressions de x^ /, z font voir que le point auquel sont appliquées les forces, est dans le centre de gravité des points auxquels ces forces tendent.
De là résulte le théorème de Leibnitz, que si tant de puissances qu'on voudra sont en équilibre sur un point, et qu'on tire de ce point des droites qui représentent tant la quantité que la direction de chaque puissance, le point dont il s'agit sera le centre de gravité de tous les points auxquels ces lignes seront terminées.
Si donc il n'y a que quatre puissances, et qu'on imagine une pyramide dont les quatre angles soient aux extrémités des droites qui représentent les puissances, il y aura équilibre entre ces quatre puissances lorsque le point sur lequel elles agissent sera dans le centre de gravité de la pyramide; car on sait, par la Géométrie, que le centre de gravité de toute la pyramide est le même que celui de quatre corps égaux qui seraient placés aux quatre coins de la pyramide. Ce dernier théorème est dû à Roberval.»
4. Supposons, en second lieu, que le corps ou point sur lequel agissent les forces P, Q, R, etc. , ne soit pas tout à fait libre, mais qu'il soit contraint de se mouvoir sur une surface, ou sur une ligne donnée ; on aura alors, entre les coordonnées x^y, z, une ou deux équations de condition, qui ne seront autre chose que les équations mêmes de la surface ou de la ligne dont il s'agit.
Soit donc L == o l'équation de la surface sur laquelle le corps ûe peut que glisser, on ajoutera à la somme des moments des forces X do? -4* Y rf^ H- ïrlz le terme AcfL (sect. IV, art. 3), et l'on aura, pour l'équation générale de l'équilibre,
Xdx + Ydy -h Zdz -t- Ac?L = o,
A étant une quantité indéterminée ^
I02 MéCANlQUE ANALYTIQUE.
Or, L étant une fonction connue de a;, j, z, on aura, par la diffërentiation,
donc substituant et égalant ensuite séparément à zéro la somme des termes multipliés par chacune des différences dx^ dy, dz^ on aura ces trois équations particulières de l'équilibre,
X + Ag = o, d'où chassant Tindéterminée A, on aura ces deux-ci :
dx dy '
rj dLi Y dLi
elx dz '
lesquelles renferment, par conséquent, les conditions cherchées de l'équilibre du corps sur la surface proposée.
5. Si l'on applique maintenant ici la théorie donnée dans l'art. 5 de la sect. IV, on en conclura que la surface doit opposer au corps une résistance égale à
et dirigée suivant la perpendiculaire à la surface qui aurait pour équation dij = o, c'est-à-dire perpendiculairement à la même surface sur laquelle le corps est posé ; et comme on a
dLt Y ^ dLi -mr dLi rj
^di = -^' ^^ = -^' ^Tz=-^'
il s'ensuit que la pression du corps sur la surface (pression qui doit être égale et directement contraire à la résistance de la surface) sera exprimée par
PREMlÊBB PARTIE. — LA STATIQUE. Io3
\/(X^H- Y*H-Z*), et agira perpendiculairement à la même surface; c'est uniquement à cette condition que se réduisent les deux équations trouvées ci-dessus pour l'équilibre du corps, comme on peut s'en assurer par la méthode de la composition des forces.
6. Au reste, dans le cas d'un seul corps tiré par des puissances données, on peut trouver encore plus simplement les conditions de l'équilibre, en sub* stituant immédiatement dans l'équation Xrfa: H- Yrfy -h Zcfe = o, à la place
de la différentielle rfz, sa valeur ^-j — ^ , tirée de l'équation clif-
là
férentielle de la surface donnée sur laquelle le corps peut glisser, et égalant ensuite séparément à zéro les coefficients des différentielles dx et dr qui demeurent indéterminées, suivant la méthode générale de l'art. 10 de la sect. II.
On aura ainsi, sur-le-champ, les deux équations
dL dL
dL
dz
qui reviennent à celles que l'on a trouvées plus haut.
Pareillement, si le corps était assujetti à se mouvoir sur une ligne de figure donnée, et déterminée par les deux équations différentielles dy =:pdxj dz = qdx^ il n'y aurait qu'à substituer ces valeurs de djr et dz dans Xdz + Ydy -+- Zdz = o, et l'on aurait, en divisant par dx,
X H- Yp -h Zgr = o,
pour la condition de l'équilibre.
Mais dans tous les cas où il y aura plusieurs corps en équilibre, la méthode des coefficients indéterminés, exposée dans la section précédente, aura toujours l'avantage, tant du côté de la facilité que de celui de la simplicité et de l'uniformité du calcul.
Io4 MECANIQUE ANALYTIQUE.
^11. — De la composition et décomposition des forces.
