PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. lo

et surtout lorsqu'il s'agit de trouver les résultats d'une infinité de forces qui agissent sur un même point, comme l'attraction d'un corps de figure quelconque.

9. Soit m la masse d'un corps dont chacun des éléments dm soit regardé comme le centre d'une force P proportionnelle à dm et à une fonction^ de la distance/? ; en faisant J^dp = F/?, l'élément dm donnera, dans Texpres-

sion de S, le terme \^ rfm, dont l'intégrale relative à toute la masse m

sera le résultat de l'attraction de cette masse ; et comme cette intégration est indépendante de la différentiation relative à f , on pourra donner à l'intégrale

dont il s'agit la forme ' ,^ '" y de sorte qu'en faisant

S.Fpdm = 2, on aura

^rf2 xff^^ $ = — "* d'^ d\^ d<f

et il ne s'agira plus que de substituer au lieu de p^ dans la fonction F/?, sa valeur exprimée en fonction des coordonnées qui déterminent la position de chaque particule dm dans Tespace, et des coordonnées ^, 4» ? ^^ point attiré, et d'exécuter ensuite séparément l'intégration relative aux premières, et les di£férentiations relatives aux dernières.

Dans le cas de la nature, on a/p = —, ; donc Fp= , et, par conséquent, 2= — S — •

Soient a, 6, c les coordonnées de chaque particule dm du corps, on aura, en supposant la densité de cette particule exprimée par T fonction de a, 6, c,

dm = rdadbdc; donc

o Tdadbdc 2 = —S

Or, XjjTj z étant les coordonnées du point attiré, on a (art. 1)

p=,^{a:^ay^{X^by-h(z-cy.

Mëc, anal, I i4

Io6 MECANIQUE ANALYTIQUE.

Donc

o Vdadbdc

>J(x-ay-^(y-bY+{z-cy'

10. Le cas le plus simple est celui où le corps attirant est une sphère Dans ce cas, en faisant r = i , et supposant le centre de la sphère dans l'ori gine des coordonnées x, j, z du point attiré, on a

m étant la solidité de la sphère, qu'on sait être égale à ,-^ a% en prenant

a pour le rayon, et tt pour le rapport de la circonférence au diamètre. Si la densité r était variable dans F intérieur de la sphère, en la supposant

fonction de et, on ferait m = -^ Svd.a^ .

On peut encore avoir la valeur de 2 lorsque le corps attirant est un sphéroïde elliptique, dont la surface est représentée par Téquation

A, B, G étant les demi-axes des trois sections principales, et a, i, c les coordonnées rectangles de la surface, prises sur les trois atxes, et ayant leur origine dans l'intersection commune des axes qui est le centre du sphéroïde. Mais l'expression générale de cette valeur dépend d'une formule intégrale assez compliquée, et par laquelle il est impossible d'avoir 2 en fonction de

Cependant si l'on suppose que le sphéroïde soit peu différent de la sphère, ou que la distance du point attiré au centre du sphéroïde soit fort grande par rapport à ses axes, on peut exprimer la valeur générale de 2 par une série convergente délivrée de toute intégration. M. Laplace a donné, dans sa Théorie des attractions des sphéroïdes (*), une très-belle formule par laquelle on peut former successivement tous les termes de la série, et qui

montre en même temps que la valeur de — > m étant la solidité du sphéroïde,

(*) Voyez Mécanique céleste, \ome H, livre m, chapitre premier. (/. Bertrand.)