PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. Il
IV
Il est facile maintenant d'étendre cette solution à tel nombre de corps qu'on voudra, et même au cas de la funiculaire ou chaînette ; mais nous traiterons ce cas en particulier, par la méthode exposée dans le § II de la section précédente.
14. On aurait une solution plus simple, à quelques égards, si l'on introduisait d'abord dans le calcul Tinvariabilité des distances/*, g, etc.
Ainsi, en se bornant au cas de trois corps, et nommant 4» 4' ^^ angles que les lignes/, g font avec le plan des a?, j, et (p, (p' les angles que les projections de ces lignes sur le même plan font avec Taxe des x, on aura
a:'' — 0?' =ycos(p cos 4 ? j'' — x' =/^^^ ^ cos4 ? ^'' — 2' =/sin4, x'" — a;''=:g^cos^'cos4'> j'" — 7''=g^sin^'cos4\ z'^' — z''==g'sin4'.
Substituant les valem^ de x'\y\ z'\ x'" ^y"'^ z'" tirées de ces équations dans la formule générale de l'équilibre de trois corps,
X'rfa?V Y'rf/-h ^'dz'-^- X'dx' 4- Y'dy'+Z'dz' ^ -h X"'dx'"^ Y'^dy"^ V'dz"'= o,
en faisant varier simplement les quantités x\y\ z\ ^, ^', 4? 4? ^^^* ^^^ variations demeurent indéterminées, et égalant séparément à zéro les quantités multipliées par chacune de ces variations, on aura les sept équations :
X'H-X''-f-X'^=o, Y'4-Y''-hY"'=o, . Z'h-Z'^+Z'^ = o, (X''+ X'") sin^ — (Y'' 4- Y'^') cos(p = o, X"^in(p'— Y"'cos(p'=o, {V-^ ^") cos^ sin4 + (Y'' -h Y'^') sin (p sin4 — (Z''+ Z'^) cos 4 = 0, X'^'cos(p'sin4'4- Y'Sin(p'sin4'— Z^cos4'=o,
Méc, anal, I. i5
Iî4 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
dont les cinq premières coïncident immédiatement avec celles qu'on a trouvées dans Fart. 12, par l'élimination des indéterminées A et ^, et dont les deux dernières s'y réduisent facilement, en éliminant les Y^\ Y'" par le moyen de la quatrième et de la cinquième.
Mais si de cette manière on parvient plus directement aux équations finales, c'est qu'on a em.ployé une transformation préliminaire des variables, laquelle renferme les équations de condition ; au lieu qu'en employant immédiatement les équations avec des coefficients indéterminés, comme dans l'art. 12, la solution du problème est réduite à un pur mécanisme de calcul. De plus, on a, par ces coefficients, la valeur des forces que les verges/" et g doivent soutenir par leur résistance à s'allonger, comme on le verra ci-après.
15. Si l'on voulait que le premier corps fût fixe, alors les différences dx', dy\ dz' seraient nulles, et les termes affectés de ces différences disparaîtraient d'eux-mêmes dans l'équation générale de l'équilibre. Ainsi les trois équations de l'art. 12, savoir,
X'-yx"-x') = o, ¥'-].(/'-/) = o, Z'-j.(z"-z') = o,
n'auraient point lieu; donc les équations
X' + X''-hX'''-f-...=o, r+Y'^H- ¥'''+. .. = o, Z'+Z^+Z^-h...=o,
n'auraient pas lieu non plus, mais toutes les autres demeureraient les mêmes. Ce cas est, comme l'on voit, celui où le fil serait attaché fixement par une de ses extrémités.
Et si le fil était attaché par ses deux extrémités, alors on aurait non-seulement dx'^o, dy=o, û?z'=o, mais aussi djc'^^''' = o, dy"''^'' =^o, dz"^^'^^' = o ; et les termes affectés de ces six différences dans l'équation générale de l'équilibre disparaîtraient, et feraient, par conséquent, disparaître aussi les six équations particulières qui en dépendent.
En général, si les deux extrémités du fil n'étaient pas tout à fait libres, mais qu'elles fussent attachées à des points mobiles suivant une loi donnée, cette loi, exprimée analytiquement, donnerait une ou plusieurs équations entre les différences ûte', dy\ dz' qui se rapportent au premier corps, et les
