PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE
et si Ton ajoute maintenant les trois premières de ces transformées aux trois dernières, on aura sur-le-champ ces trois-ci :
lesquelles auront toujours lieu, quel que soit l'état du premier corps, puisqu'elles sont indépendantes des équations relatives à ce corps. Ces équations renferment, comme l'on voit, le même principe des moments, mais par rapport à des axes qui passeraient par le premier corps.
23. Supposons qu'il y ait un quatrième corps attaché à la même verge inflexible, pour lequel les coordonnées rectangles soient x'^ ^y'\ z'\ et les forces parallèles à ces coordonnées X"% Y"', Z'\
Il faudra donc ajouter à la somme des moments des forces, la quantité
ensuite, comme les distances entre tous les corps doivent demeurer constantes, on aura, par les conditions du problème, non-seulement df=io^ dgz=o^dh=io^ comme dans le cas précédent, mais aussi rf/ == o, dm = o, e^n = o, en nommant /, /n, /i, les distances du quatrième corps aux trois précédents. Ainsi l'équation générale de l'équilibre sera, dans ce cas,
rtfj^m
y^dx' -h X'dy' H- Xdz' H- Vdx" -f- X"df -h Tl'dz" -h X"'^
+ hdf-ir fjtdg -h vdh -+- '^dl + p<3?m -h <fdn = o.
Les valeurs de df, dg, dh sont les mêmes que ci-dessus ; quant à celles de dl, dm, dn, il est visible qu'on aura
'= v/K- ^')'-+- (r"- yy-h (2"- 2')%
n=\/{x"—x"'y-^{X"—yy-h{z''—z'")\
et, par conséquent,
^^^ (x^^-x'^){dx^''-dx^')'^-(j^^-y") (dy^-dy^)-^(z^^-z^^) (dz^^^
, {x'^—x'") (dx'''—dx'")'i'{y'^—y')(dy'^—dy'')^{z'^—z''){dz'^—dz^)
Faisant ces substitutions, et égalant à zéro la somme des termes affectés de chacune des différences ctr', rfy', etc. , on trouvera douze équations particulières, dont les neuf premières seront les mêmes que celles de l'art'. 20, en ajoutant respectivement à leurs premiers membres les quantités suivantes :
— TT j , —TT j , — TT j ,
.IT ^ ^fff ^IT ^fff ^ IT ^///
et dont les trois dernières seront
XtV .^f y IT y/y ylT ^fn
z'»^— z' z'^ — z^^ z'^—z'" TT -j h p h a = O.
24. Comme il y a en tout douze équations, et qu'il y a six indéterminées, A,ytt,v,7r,p,cr, à éliminer, il ne restera, pour les conditions de l'équilibre, que six équations finales ^ comme dans le cas de trois corps; et l'on trouvera par une méthode semblable à celle de l'art. 21, ces six équations analogues à celles de cet article,
Xy — Yx'^ XV— Y'x'-^ X'V— ^"'^"'-^ XV— Y*'^"= o, X'z'— ZV-h m'z' — Tl'x'-^ X''z''— r^x^'^ X-^z-' — ï^a:'''= o, Tz'— Zy-h Y^z'^— Z"j''4- Y'^'z''' — ZV'+ Y"V^ — Z'y^= o.
Au lieu des trois dernières, on pourra aussi substituer les trois suivantes, qu'on trouvera par la méthode de l'art. 22, et qui, étant indépendantes des équations relatives au premier corps, ont l'avantage d'avoir toujours lieu, quel que soit l'état de ce corps :
25. On voit maintenant comment il* faudrait s'y prendre pour trouver les conditions de l'équilibre d'un nombre quelconque de corps attachés à une verge ou à un levier inflexible. En général, il est visible que, pour que la position respective des corps demeure la même, il suffit que les distances des trois premiers corps entre eux soient constantes, et que les distances de chacun des autres corps à ces trois- ci le soient aussi ; puisque la position d'un point quelconque est toujours déterminée par les distances de ce point à trois points donnés. On fera donc, pour chaque nouveau corps qu'on ajoutera au levier, les mêmes raisonnements et les mêmes opérations qu'on a faites dans l'art. 23, relativement au quatrième corps, et chacun d'eux fournira trois nouvelles équations particulières, avec trois nouvelles indéterminées à éliminer; en sorte que les équations finales seront toujours en même nombre que dans le cas de trois corps, et elles seront de la même forme que celles que nous venons de trouver dans l'article précédent.
Au reste, il est visible que ces équations rentrent dans celles que nous avons trouvées en général pour l'équilibre d'un système quelconque libre, dans les art. 3 et 9 de la sect. III. En effet, puisque, à cause de l'inflexibilité de la verge, les distances des corps entre eux sont inaltérables, il
ISè6 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
s'ensuit que l'équilibre doit avoir lieu si les mouvements de translation et de rotation sont détruits : on aurait donc pu, par cette seule considération, résoudre le problème précédent, d'après les formules des articles cités ; mais nous avons cru qu'il n'était pas inutile d'en donner une solution directe, et tirée des conditions particulières de la question.
§ III. — De V équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à une verge
à ressort.
26. Considérons de nouveau le cas de trois corps joints par une verge, et supposons de plus que la verge soit élastique dans le point où est le second corps, en sorte que les distances de celui-ci au premier et au dernier soient constantes, mais que l'angle formé par les lignes de ces distances soit variable, et que l'effet de l'élasticité consiste à augmenter cet angle, et, par conséquent, à diminuer l'angle extérieur formé par un des côtés et par le prolongement de l'autre.
Nommons la force de l'élasticité (*) E, et e l'angle extérieur qu'elle tend à
diminuer; le moment de cette force sera exprimé par ^de (sect. II, art. 9) ; de sorte que la somme des moments de toutes les forées du système sera
+ ^"^dx"' -f- Y"dy'"^ Tl'dz'"^ Ede.
Or les conditions du problème sont les mêmes ici que dans l'art. 12, c'est-à-dire d/ = o et dg =^ o. Donc on aura cette équation générale de l'équilibre,
X'd^'-h Y'rf/+ Z'dz'-h X'dx''-+^ X"dy"^Tl'dz'+ X'^dx'' Y''dy"'+- Tl'dz'"^ Ede^ y^df^ f^dg = o\
et il ne s'agira que d'y substituer les valeurs de rfe, df^ dg ; celles de dfel dg sont les mêmes que dans l'article cité.
(^) Le mot force est ici détourné de sa signification habituelle. Lagrange regarde comme évident que l'ensemble des forces qui sont produites par Télasticité ayant une somme de moments égale à zéro lorsque Tangle e est invariable, cette somme peut être considérée, en général , comme proportionnelle à £^ , et il la représente alors par £ </^ , £ n'exprimant une force que si Ton adopte la convention du paragraphe 9, sect. U. Foyez la note relative à ce paragraphe. . (/. Bertrand.)
