PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. l
et
SXrfm = o, SYrfm = o, SZe/m = o.
Ces trois équations répondent, comme l'on voit, à celles de l'art. 12 de la section présente.
34. Supposons, en second lieu, que le fil soit attaché par un de ses bouts ou par tous les deux; et, si c'est le premier bout qui est fixe, les variations 8x\ Sj', Sx' seront nulles, et il suffira d'égaler à zéro les coefficients de S^r'', 8x\ L\ c'est-à-dire de faire a''= o.
Par la même raison, lorsque le second bout sera fixe, il suffira de faire a'= o. Mais si les deux bouts étaient fixes à la fois, alors il n'y aurait aucune condition particulière à remplir, puisque les variations Sa:', S/', Sz', 8x'\ Sj", Sz" seraient toutes nulles.
35. Supposons, en troisième lieu, que les extrémités du fil soient attachées à des lignes ou surfaces courbes, le long desquelles elles puissent glisser librement; et soient, par exemple.
tf j^ji
dz' = a'dx' 4- b'd/, dz" = a'dx" -h h'dy
les équations différentielles des surfaces auxquelles le premier et Je dernier point du fil sont attachés. On aura pareillement, en changeant cf en S,
ôV= a'Sx'-h hly^, lz" = a"lx'+¥ly"%
on substituera donc ces valeurs dans les termes dont il s'agit, et l'on égalera ensuite à zéro les coefficients de Sa?', Sj', Sa;", ly" .
En général, on traitera la partie qui est hors du signe dans l'équation générale de l'équilibre, comme si elle était seule, et qu'elle représentât l'équation de l'équilibre de deux corps séparés et placés aux extrémités du fil.
36. Supposons, par exemple, que le fil soit attaché par ses deux bouts aux extrémités d'un levier mobile autour d'un point fixe. Soient a, />, c les trois coordonnées rectangles qui déterminent dans l'espace la position de ce point fixe, c'est-à-dire du point d'appui du levier; et soient de plus y la distance entre ce point d'appui et l'extrémité du levier à laquelle est attaché le premier bout du fil, g^ la distance entre le même point d'appui et l'autre extré-
l34 MECANIQUE ANALYTIQUE.
mité du levier à laquelle est attaché le second bout du (il, h la distance entre les deux extrémités du levier, et, par conséquent^ aussi entre les deux bout& du fil: il est clair que ces six quantités a^ h, c^f^ g^ h sont données par la nature du problème, et il est visible en même temps que x\ y\ z' étant les coordonnées pour le commencement de la courbe du fil, et x" , j'', z^ les coordonnées pour la fin de la même courbe, on aura
Or ces quantités/ j g, h étant invariables, on aura, en différentiant par Ô ces trois équations de condition détenninées,
[a — x')Zx' -h{b — y') Sj' -\- {c — z') Sz' = o,
{a—x")^x"-^{b—y")hy"-\~{c—z")lz"=o,
{x"-x') {Ix"- Zx') -h (j"-/) (Sy- S/) -H {z"-z') (Sz"- Sz') = o,
lesquelles étant multipliées chacune par un coefficient indéterminé, devront être aussi ajoutées à Téquation générale de l'équilibre. Ainsi, prenant a, |3, y pour les trois coefficients dont il s'agit, et égalant à zéro les coefficients des six variations 8j?', ly\ 8z', lx'\ 8y", Sz'', on aura autant d'équations particulières déterminées, qui seront
(f\ i tt l\ ^ ^x a — x) — y{x —x) -j^ — o,
ct{c — z) — y{z — z) ^7- = o,
et qui, par l'élimination de a, |3, >, se réduiront à trois.
