PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. l

Substituant dans SE Se, et faisant, pour abréger,

on aura

SEde = SWxZd^x H- SldyZdy + ^Id'zM^z.

Ces expressions étant traitées suivant les règles données dans Tart. 15 de la sect. IV, en y changeant d'abord Srf en rfS , et intégrant ensuite par parties pour faire disparaître le d avant S, on aura les transformées suivantes : '

Sld'x^d'x = rd^x'dix"—d. {rd'x")lx"— Vd'x'dBx'

-h d.{Vd'x')^x' -i- Sd\{ld'x)ix,

sidyuy = rdy'dBj'' — d. {rdy') 8^ — Vdyd^/

4- d . {VdY) Sj' 4- Sd' . ÇLdy)Bjr, Sld'zWz = Vd'z'dBz'— é/.(FrfV)8z''— Vd'z'd^z'

-hd.{Vd'z')8z'-hSd\{ld'z)8z.

On ajoutera donc ces différents termes à ceux qui forment le premier membre de l'équation générale de l'équilibre de l'art. 29, et l'on aura l'équation de l'équilibre d'un fil inextensible et élastique.

48. Égalant d'abord à zéro les coefficients des variations 8a;, 8j, 8z, qui se trouvent sous le signe S, on aura ces trois équations indéfinies,

Xdm — d. -^ + û?^ . (Irf'o?) = o, \dm — d}-^^d\ {\dy) = o,

Zû?m — d. —^ -h d^ . (Irf^z) = o,

d'où il faudra éliminer l'indéterminée A, ce qui les réduira à deux, qui suffiront pour déterminer la courbe du fil.

Une première intégration donne

~ — d. (Id'x) = A -h /Xdm, ^-^-d.{Idy) = B^fYdm,

~ - d.{ld'z) = C -h fZdm,

Mée, anal, I. iq

l46 MECANIQUE ANALYTIQUE.

A, 6, C étant des constantes arbitraires, et rélimination de A donnera

dxd.{ld'x)—dxd.{ld'x)={A-^fXdm)dy — {B-hfYdm)dT, drd.{ld*z) — dzd.{îd'x) = (A-hfXdm) dz — (G -\- JZdm) dx, dyd.{ld'z) — dzd.{ldy) = (B -{-JYdm)dz — (G -hfZdm)dr,

dont la dernière est déjà contenue dans les deux autres. Ges équations sont de nouveau intégrables, et Ton aura

l{dxd*x — dyd^x) = F -h /(A H- fXdni)dy^ /(B 4- J\dm)dx, l{dxd^z — dzd^x) = G H-/(A + fXdm)dz—f{C -{- fZdm) dx, I [dyd'z — dzd'y) = H + / (B H- JYdm) dz — f{C-hJ Zdm) dy,

F, G, H étant de nouvelles constantes.

Or nous avons supposé plus haut (art. 47)

dsy/d*x* -i-dy*-i- d*z* — </ V '

le carré du. dénominateur de cette quantité est

ds^{d*x^-^ rfy» H- rf»z*) — rfj'cPj»

= {dx^ -^ dy^ -^ dz") {d''x'-]-dY-i-d'z^) — {dvd*x-i-dyd*y-hdzd*zy = {drdy — dyd^xy -h {dxd'^z — dzd'xf -+- {dyd^z — dzdyy.

Donc, si l'on ajoute ensemble les carrés des trois équations précédentes, on aura celle-ci, sans différentielles,

E* = [F H-/(A -hfXdm)dy—f{B -i-fYdm)dxy,

[G H-/(A + /Xrfm) dz —J{C-hJZdm)dx]\ [H -h f {B -h fY dm) dz —/(G -hfZdm)dy]*;

et si Ton divise ensemble deux des mêmes équations, on aura celle-ci, où l'élasticité n'entre pas,

dxd*z—dzd*x G-+-/{A-hfXdm)dz—f(C+fZdm)dx dxd*y—dyd*x ~ F ■+-f(A+fXdm)dy — f{R + fYdm)dx'