PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. KJ

aux quantités e^ près, -j-^ , il n'y aura qu'à faire r^ ^ i , et l'on aura

d'oùl'on tire

Or on a f = -„-ô; donc -r ^^ -^ à très-peu près, comme on le sait riepuis longtemps.

!^ m. — De l'équilibre d'une masse fluide libre avec un solide gufelle recouvre.

27. Les lois particulières de l'équilibre d'un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quelconques, dépendent des termes de l'équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles.

Ces termes donnent cette équation aux limites,

^7\" {S'x" dydz -h è'y" dxdz -h S'z" dxdf) — ^ }\' [Sx' d.y dz -h Sy' dxdz -\- Sz'dxdy) := o,

laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contîgu au solide.

28. Considérons d'abord le cas d'une masse fluide dont la surface extérieure est libre, et qui environne un noyau solide fixe de figure quelconque.

En prenant l'origine des coordonnées dans un point de l'intérieur du îioyau, les quantités marquées d'un trait se rapporteront à la surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rapporteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi on aura d'abord, pour tous les points de cette surfece, l'équation a"=^ o, laquelle donne, comme on l'a déjà vu plus haut (art. 19),

Sr (X^ -h ydy + Zdz) = K ,

pour la figure de cette surface.

Mdc. anal. I, aS

fl ne restera donc à vérifier que l'équation

Sa' [Sx'àydz H- Sj'dxdz -+- Sz'dxdy) = o, dont tous les termes se rapportent à la surface du noyau.

29. Comme l'intégration de ces termes est relative aux coordonnées dont les différentielles entrent dans l'expression des éléments superficiels dxdy, dxdz, dydz, il faut commencer par réduire ces éléments à une même forme ; ce qu'on peut obtenir en les rapportant à l'élément de la surface auquel ils répondent.

Désignons par ds^ l'élément de la surface qui répond à l'élément dxdy du plan des x, y, et nommons y' l'angle que le plan tangent fait avec le même plan des x^y; on aura, parla propriété connue des plans, dvdy^^ds'^ cas y , et l'intégrale S/J's'cSre/j deviendra S?\' cosy' Szds^ , laquelle devra s'étendre à tous les points de la surface du fluide.

De même, si dtr^ est l'élément de la surface qui répond à l'élément dxdz du plan des x, z, et qu'on nomme fS' l'angle que le plan tangent fait avec ce même plan des x, z, on aura dxdz = dcr^cos^', et l'intégrale ^A'Sy'dxdz deviendra S/cos/3'<îy'c^cr', laquelle devra s'étendre également par tonte la surface du fluide.

30. Je remarque maintenant que, quoique les deux éléments (/.ï^ et da-^ de la surface puissent n'être pas égaux entre eux, néanmoins, comme les deux intégrales qui renferment ces éléments se rapportent à la même surface, rien n'empêche d'employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du calcul différentiel, la valeur absolue des éléments est arbitraire et n'influe point sur celle de l'intégrale. Ainsi on pourra changer l'intégrale ^à' cos^'Sy'dtr- en S ?\ cos ^' Sy ' ds"^ .

Par le même raisonnement, l'intégrale S^'^x'dydz pourra se mettre sous la forme Sx' co& a Sx' ds^, en nommant «' l'angle que le plan tangent fait avec le plan des x, y.

D'ailleurs, il est évident qu'on peut toujours prendre les éléments dx, dy dz tels, qu'ils satisfassent aux conditions

dxdy ^= cos y' ds'- , dxdz = cos(i'ds'^, dydz^^ cosa'ds',