PREMIÈRE PARTIE. — r.A STATIQUE. iCj

lesquelles donnent

d. = A /{^^) , dj = *■ s/(j^:^p^) , d. = ds v/(^^) .

Par ces transformations, l'équation aux limites deviendra enfin SA'(cosa',5'x'-(- cos/S'^/'-t- cosy' h'z')ds'^ ^= o, l'intégration devant s'étendre sur toute la surface du fluide contigu au noyau .

31. Supposons que la figure de cette surface soit représentée par l'équation différentielle

A.dx' -h ^^dy■' ^ Q.dz' ^= o.

En nommant «', |3', y' les angles que le plan tangent fait avec les plans des

X, y, des X, z et des/, s, on a, par la théorie des surfaces, A

cos |S' -

cos y =^ - r- ■■■ — ^- — • ^ \/{A^-l-B'-t-C^)

Donc l'équation de l'article précédent, relative à la surface, deviendra

S A X --I !i-^- — ds^ = o.

Gomme cette surface est donnée de figure et de position, les variations S'x', Jy', S'z' des coordonnées des particules qui y sont contiguës doivent avoir entre elles une relation dépendante de l'équation de la même surface; ainsi, ayant supposé cette équation Adx' -\- Bdf' -h Gdz' = o, on aura aussi nécessairement AS'x' -{- BSj' -h GSz' ^^= o, ce qui satisfait à l'équation aux limites de l'article précédent, sans qu'il en résulte aucune nouvelle équation.

52. Soit p' une ligne perpendiculaire à la surface dans le point auquel répondent les variations Sx', ^j', Sz', et terminée à un point fixe. Puisque a' est l'angle que le plan tangent fait avec le plan des j, z, ce sera aussi l'angle que la perpendiculaire p' à ce plan fait avec l'axe des x, qui est perpendicu-

laire au même plan des/, z. De même, |3' sera l'angle de cette perpendiculaire avec l'axe des y; et 7' sera l'angle de la même perpendiculaire avec l'axe des z. Donc, quelles que soient les variations %x\ 2j', Ss', on aura, eu général, par l'art. 7 de la sect. II, en changeant t/ en S ,

Zp' ==■ cos a' S^'-t~ cos i^'Sy' -H cosy'Sz' ;

et léquation de l'art. 50, relative à la surface du tluide, pourra se mettre sons la forme

&?\!o/j'ds'^ = o,

oii l'on voit que cliaque élément >!ds^^p' de cette intégrale représente le moment d'une force x'ds'^ appliquée à l'élément ds^ de la surface, et dirigée suivant !a perpendiculaire/?' à cette surface. De sorte que l'intégrale Sa' ô/ï'^/.s''représentera la somme des moments de toutes les forces x' appliquées à chaque point de la surface, et agissant perpendiculairement à cette surface.

Cette force égale à / est évidemment la pression exercée par le fluide sur la surface du noyau, et qui est détruite par la résistance du noyau. Mais on peut, en général, réduireàlaformeSAS^c/^^tous les termes de l'équation aux limites qui. se rapportent à la surface du fluide, soit que cette surface soit libre ou non ; et il est évident que la pression A doit être nulle dans tous les points cil la surface est libre; ce que nous avons déjà trouvé d'une autre manière (art. 18).

55. Si le noyau recouvert par le fluide était mobile, alors il faudrait augmenter les variations ^x, Sj, Sz des variations dépendantes du changement de position du noyau.

Pour distinguer ces différentes variations, nous désignerons par Sx, Sy, ôz les variations dues simplement au déplacement des particules du fluide, relativement au noyau regardé comme fixe, et nous dénoterons par Sg, Su, S^les variations qui dépendent du déplacement du noyau. Celles-ci sont exprimées par les formules suivantes, que nous avons trouvées dans l'art. 60 de la sect. V:

âg — S/ H-sSM — /SN, OH = Bm — sâL H- ^SN,

yGoosle