PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE- 20iî

en — S, c'est-à-dire en supposant que la quantité A qui exprimait la pression dans les fluides incompressibles, étant prise négativement, exprime la force d'élasticité de chaque élément d'un fluide élastique.

3. L'élasticité s dépend de la densité et de la température de chaque particule du fluide, et l'on doit la regarder comme une fonction connue de ces deux quantités; mais la densité de chaque particule est inconnue, parce qu'elle dépend du rapport de la masse dm de la particule à son volume dxdydz; et le calcul différentiel ne peut déterminer ce rapport, qui dépend du nombre de particules élémentaires contenues dans l'élément différentiel dxdydz de la masse fluide.

On ne peut donc connaître la valeur de l'élasticité qu'à posterioii, par le moyen des forces qui tiennent le fluide en équilibre. Ainsi il faudra déterminer la valeur de î comme on a déterminé celle de A dans l'art. 19 de la section précédente.

4. En changeant A en — e, on aura par cet article les équations

-rZ = o,

£-rx

!5-' + rY=o

lesquel!

es donnent

: -hr

(Xdx + Ydy +

Zdz)

et, par

conséquent.

const

— Sr(Xrfa;+'

tdf-

-Zdz).

Ainsi k quantité r {Xdx -+- Ydf -\- 'Ldz) doit être une différentielle complète pour l'équilibre des fluides élastiques, comme pour celui des fluides i ncompressibles .

De là on conclura aussi, comme dans l'art. 20 de la section précédente, que lorsque la quantité Xc£k -+ ^ày -\- "Ldz est elle-même une différentielle complète, la densité Y devra être uniforme dans chaque surface de niveau.

S. En désignant par 9 la chaleur qui a lieu dans chaque endroit de la masse fluide, on suppose ordinairement, pour l'air, s proportionnelle à râ, en faisant abstraction des autres causes, telles que les vapeurs, l'électricité, etc. , qui peuvent influer sur son élasticité.

yGoosle

304 MJÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Substituons dans l'équation dî -^ V {'Hdx -^^ dj -^T^dz) pour r sa valeur —■, elle deviendra

La chaleur étant produite par des causes locales, la quantité 9 sera une fonction donnée de ,r, /, s; et il faudra, pour que l'équation précédente

puisse subsister, que la quantité

%dx-hY dy-h1ds B -

soit une différentielle exacte.

6. Donc, dans le cas de la nature où X(ix -|- Ydy + %dz = dU (art. 20, section précédente) , il faudra que S soit une fonction de n ; par conséquent, on aura dQ ^^ o lorsque dU ^= o ; d'où il suit que la chaleur doit être constante dans chaque surface de niveau à laquelle la pesanteur est perpendiculaire, autrement il sera Impossible que l'atmosphère puisse être en équilibre. Ainsi il faudrait, pour que l'air pût être en repos, que la température fût égale sur toute la surface de la terre, et qu'elle ne variât, en s'élevant dans l'atmosphère, que d'une couche de niveau à l'autre.

7. A l'égard de l'équation aux. limites pour la surlace du fluide, en employant la réduction de l'art. 52 de la section précédente, elle devient Sst5'/'(^^:= o, et sous cette forme elle est évidente par elle-même, car à la surface il n'y à a considérer que la force d'élasticité s qui agit suivant la ligne p perpendiculaire à la même surface; et si le fluide est contenu dans un vase, les variations Sp sont nulles, et l'équation a lieu d'elle-même; mais si une partie de la surface était libre, il faudrait que l'élasticité e y fût nulle ; autrement le fluide n'étant pas contenu se dissiperait.

8. L'élasticité g, dans l'atmosphère, est proportionnelle à la hauteur du baromètre, que nous désignerons par h. Soit Z la force de la pesanteur; prenons l'ordonnée z perpendiculaire à la surface de la terre et dirigée de bas en haut; l'équation de l'art. 5 deviendra