L.J Sm+&(^-^- ji i-^)m
+ S>{ï'dp -h Qdq -t- Rdr -\~ ...)m:=o.
Mettons à la place de Pdp -+- Qdq -+- Kdr ■+■ . . . , la quantité équivalente Xdx -f- Ydy -\- Zdz, et substituons pour dx, dy, dz les valeurs dx' -^ d^, df'-\- dt]j dz' -\- d^, la dernière équation se réduira, en vertu des équations différentielles de l'art. 3, à celle-ci :
:^^^^)m + S(X^g -h Yf/H -H Zd^)m == o,
dt^
qui est analogue à celle de l'art. 33, mais où la quantité Hd^ -h Y (/n h- 'Ld^ ne sera intégrable <\ji!autant que les forces seront dirigées vers les corps mêmes du système, et proportionnelles à des fonctions des distances. Dans
27Ô MECANIQUE ANALVTIQUE-
ce nas, on auia
équation qui renferme la Conservation des forces 'vives, par rapport -Mi centre de gravité.
56. Au reste, il n'en est pas du principe des forces vives comme de ceu>: du centre de gravité et des aires, qui ont lieu quelle que soit l'action que tes corps du système puissent exercer les uns sur les autres, même en se choquant, parce que toutes les forces intérieures disparaissent des équations qui renferment ces deux principes.
L' équation de la conservation des forces vives contient tous les termes dus aux forces tant extérieures qu'intérieures, et n'est indépendante que de l'action des corps, provenant de leur liaison mutuelle. Aussi ce principe a-t-ii lieu dans le mouvement des fluides non élastiques, tant qu'ils forment une masse continue, et qu'il n'y a point de choc entre leurs parties ; et si la quantité de forces vives est la même avant et après le choc des corps élastiques, c'est qu'on suppose que les corps se sont rétablis après le choc, dans ie même état oii ils étaient auparavant; de sorte que les termes JP 4^ de l'expression n, qui proviennent des forces P dues au ressort des corps, et dont la valeur est la plus grande lorsque la compression est à son terme, décroissen!, ensuite par degrés égaux pendant la restitution, et redeviennent nuls à la iln du choc. C'est uniquement dans cette hypothèse que la conservation des îorces vives peut avoir lieu dans le choc des corps élastiques.
Dans tout autre cas, lorsqu'il y a des changements bruscpes dans !es vitesses de quelques corps du système, la force vive totale se trouve dimïlînée de la quantité des forces vives dues aux forces accélératrices qui ont pu produire ces changements; et cette quantité peut toujours s'estimer par la >iomme des masses multipliées par les carrés des vitesses que ces masses ont perdues, ou sont censées avoir perdues dans les changements brusques des vitesses réelles des corps. C'est le théorème que M. Carnot avait trouvé dans le choc des corps durs.
37. On peut aussi, dans l'équation de l'art. 1 1 de la section précédente, supposer les variations S'x, S'y, Sz proportionnelles aux vitesses x, j, z que
3es corps reçoivent par l'inipulsion. On aura ainsi l'équation
S[m(.r^-H j'-H z^) --|-Xa;+ Yj H- ZsJ — o,
dans laquelle la partie Sm [x^ -j- j^ -|- z^ ) représente la force vive de tout le système.
Cette équation étant combinée avec les trois équations de l'art. 14, donne lieu à une propriété de maximis et minîmis relative à la ligne autour de laquelle le système tourne au premier instant, lorsqu'il a reçu une impulsion quelconque, ligne qu'on peut aussi nommer axe de rotation spontané.
Si l'on nomme a, ^5, y les parties des vitesses x,y, z, qui dépendent du changement de position respective des corps du système (*), et qu'on les ajoute à celles qui résultent des rotations (art. 17), on aura les valeurs complètes de £C, j, z, exprimées ainsi :
.X ^ zià — j(p -\- a,, f =r. ;vip — s^l + p! ^^=.t4- ■ — ■'^^ +" y- Supposons maintenant qu'on différentie ces valeurs, en ne regardant que 4, w, cp comme variables, et qu'on dénote ces différentielles par la caractéristique SI*"), on aura
S.X ^= zSco ■ — y^'ip, ^X ^= •'^S'P — zS']., Sz = yS-^ — xSù>.
Or, les trois équations de l'art. 14 étant multipliées respectivement par S(p, S'a), S-^, et ajoutées ensemble, en faisant passer sous le signe S les différentielles (î'ip, S'a>, S'^, qui sont les mêmes pour tous les corps, donnent, par la
(') Ces quantités a, p, 7 ne sont pas suffisamment définies. Quel que soit, en effet, le tiépîacement d'un système variable de forme, on peut le regarder comme résultant d'un mouvement arbitraire imprimé au système solidifié, puis d'un second mouvement produisant le changement de position respective des points considérés, l'indétermination des quantités a, p, 7 rend cet art, 37 extrêmement obscur. Je dois avouer qu'il m'a été impossible de comprendre le raisonnement de Lagrange, et d'attacher même aucun sens précis au théorème qui termine le paragraphe. Les notes qui suivent se rapportent donc au seul cas d'un système solide. (/. Bertrand. ]
{".) Ces variations, représentées par ia caractéristique ^, se rapportent aux changements qu'éprouvent les vitesses par suite de l'introduction de liaisons nouvelles , les forces motrices restant les mêmes. Ainsi , par exemple , dans le cas d'un corps solide , les variations S peuvent résulter do l'introduction d'un axe (ixe dans le système. (/. Bertrand. )
substitution des valeurs précédentes,
Mais l'équation de la force vive trouvée ci-dessus étant différentiée relativement à !?(*)) donne
S I 2m(x^x ^- yhy -+- z^z) -4- Xi^x + Y^r H- Z^z | :=^ o.
Donc on a, par la comparaison de ces deux équations,
Sm(x^a' ^yh'y + z^z) = o, et, par conséquent,
^.Sm(^^ ■+-/''+ z^) -^^ o,
ce qui fait voir que la force vive que le système acquiert par l'impulsion est toujours un maximum ou un minimum (**), par rapport aux rotations relatives aux trois axes ; et comme ces trois rotations se composent en une rotation unique autour de l'axe spontané, il s'ensuit que la position de cet axe est toujours telle, que la force vive de tout le système est k plus petite ou \s plus grande, par rapport à ce même axe.
Euler avait démontré cette propriété de l'axe spontané de rotation pour les corps solides d'une figure quelconque ; on voit, par l'analyse précédente, qu elle est générale pour un système de corps unis entre eux d'une manière invariable ou non, lorsque ces corps reçoivent des impulsions quelconques.
58. Lorsque le système est un corps solide qui peut tourner librement
(*) Si l'on suppose que les variations désignées par ^ soient finies, on aura, en tlifférentiani i'équation des forces vives ,
et si l'on continue le raisonnement en ayant égard aux nouveaux termes introduits par cette hypoilièse, on trouvera
ce qui montre que l'accroissement des forces vives est négatif et égal à la somme des forces vives dues aux vitesses perdues par les différents points. (/. Bertrand.)
('*) Il résulte de la note précédente qu'elle est toujours un maximum. Celte remarque a été faite pour la première fois par M. Delauoay qui la justifie d'une manière très-différente. (Journal de M, Lioiiville, tome V, page 355.) f/. Bertrand.)
autour d'un point, et qui n'est animé par aucune force accélératrice, on peut tirer de la combinaison de l'équation Ag^ forces vives avec celle des airex une relation digne d'être remarquée par sa simplicité, et qui ne l'avait pas encore été, que je sache, entre les vitesses de rotation 4, &>= ?, par rapport aux trois axes fixes des coordonnées x, y, z. Dans ce cas, on a simplement (art. 17)
dx = xdt ^ [za — f(p)dt,
dy =:^ydt :^ {x(p — Z'^)dt,
dz ^^ zdt ^^ (/4 — Xù))dt.
Donc, si l'on ajoute ensemble les trois dernières équations de l'art. 9, après les avoir multipliées par (p, a, 4) qu'on fasse passer ces quantités sous le signe S, et qu'on substitue -^, -j-i ^ à la place de leurs valeurs, on aura
mais
l'équation de l'art. 34 donne, lorsque IT -
Donc on aura
/V-i -hB«-hC(p= 2li,
A, B, C étant les moments des forces primitives d'impulsion, et H étant une constante arbitraire qui doit être nécessairement positive.
Si dans cette équation on substitue pour A, B, C les expressions de l'art, li, yC , y'Q.', y"C ^ ou C'cos^, C'cos/^, G'cos«, et pour 4) «i <?-, celles de l'art. 17, âcosA, Ocos^, Ôcosi', on aura
9 (cos / cos A + cos m cos /* H- cos « cos v) = -^j -
Dans cette formule, l, m, n sont les angles que l'axe perpendiculaire -an plan invariable fait avec les axes fixes des x, j, s, et A, /u, v sont les angles que l'axe instantané de la rotation composée, dont 9 est la vitesse, fait avec les mêmes axes; donc, si l'on nomme u l'angle que l'axe instantané de rotation
Méc. anal. I. 33
fait avec Taxe perpendiculaire au plan invariable, on aura, par une formule connue,
cos 1 ^^ ces l cos 7\ -f- cos m ces ^ 4- ces u cos v ;
et, par conséquent, 9 cos tr = -^rt où la quantité -^ est une constante qui dépend de l'état initial; ce qui donne un rapport indépendant de la figure du corps, entre la vitesse réelle de rotation à chaque instant, et la position de l'axe de rotation relativement au plan invariable.
Au reste, si l'on prend le plan des x,y de manière qu'il passe par le centre du corps et par la droite suivant laquelle se fait l'impulsion, les constantes A et B deviendront nulles (art. 16), et l'équation générale trouvée ci-dessus se réduira kQip = i\l, laquelle fait voir que la vitesse de rotation, par rapport à l'axe des s, c'est-à-dire parallèlement au plan de l'impulsion, demeure toujours la même.
g VI. — Propriétés relatives à la moindre action.
59. Nous allons maintenant considérer le quatrième principe, celui de la moindre action.
En nommant u la vitesse de chaque corps m du système, on a
et l'équation des forces vives (art. 54) devient S^^-hn^m^H,
laquelle, étant différentiée par rapport à la caractéristique 1^, donne
Or, n étant une fonction de /) , q, r, etc., ona
Sn = VSp H- Q^</ + Rj^r + . . . .
Donc
S (P<5> 4- qSq + R^r +■ . . .)m = — SmM^«.
Et cette équation aura toujoure lieu , pourvu que V dp -\- (Xdq -^ }^dr
SECONDR PARTIE. — I.A DYNAMIQUE. 270
soit une quantité intégrable, et que la liaison des corps soit indépendante du temps; elle cesserait d'être vraie si l'une de ces conditions n'avait pas lieu.
Qu'on substitue maintenant l'expression précédente dans la formule générale de la Dynamique (art. 5, sect. II), elle deviendra
Or,
d'^xùx + d'^J^J -h d'^zZz = d.{dxSx-\- dy'èy -\- dz^z) — dxdlx — djd^y — dzdtz.
Mais, parce que les caractéristiques c^ et o représentent des différences ou variations tout à fait indépendantes les unes des autres, les quantités dèx, dèr, d^z doivent être la même chose que Bdx, Sdy, ^dz. D'ailleurs il est
visible que dxZdx -\- d,yZdy -\- dzodz ==^ ^^.{dx'^ ■-\- d[\'^ -}- dz^). Donc on aura
d^x^x H- d'^jZj + d" z^z =^ d . [dxZx ~\~ dy^y -\- dziz) — \Z. [dx^ -\- dy"^ -^ dz^).
Soit s l'espace ou l'arc décrit par le corps m dans le temps t ; on aura
ds ^=; \Jdx'^ H- (/j * -t- dz^ , . et dt = — Donc
d^x^x ~\~ d'^y^y -h c^^sSs =; d.(dxBx H- dyèy -+- dzBz) — ds^ds;
et, de là,
d''-x (, €Pr T d^z T, d.(dxâx--\-dYàr--ir- dzâz] u^âds
d/^ dt- ^ dt^ dt} ds
Ainsi la formule générale dont il s'agit deviendra
- uBu 1 II
ds ou, en multipliant tous les termes par l'élément constant dt = — > et remar-
quant que uZds + dsZu = S. [uds],
Coinme le signe intégral S n'a aucun rapport aux signes différentiels d et o, on peut faire sortir ceux-ci hofs de celui-là ; et l'équation précédente prendra cette forme,
d^(,i^cc + ,ljS,+,ki.)-^ - 5 . Sm«A = o.
intégrons par rapport au signe différentiel d, et dénotons cette intégration par le signe intégral ordinaire/, nous aurons
dt
— fS.Smwfiy ^= const.
Or le signe j\ dans l'expression JS .^muds, ne pouvant regarder que les variables i* et s, et n'ayant aucune relation avec les signes S et S, il est clair que cette expression est la même chose que celle-ci, B.SmJuds; et, si l'on suppose que, dans les points où commencent les intégrales fuds, on ait Sj^ =: o, By = o. âz = o, il faudra que la constante arbitraire soit nulle, parce que le premier membre de l'équation devient nul dans ces points. Ainsi on aura, dans ce cas.
à . SmJ uds = — ^^ — ■ ^^-j^ -^—
Donc, si l'on suppose de plus que les variations 2x, By, Sz soient aussi nulles pour les points où les intégrales Juds finissent, on aura simplement B.'àviijuds = G, c'est-à-dire que la variation de la quantité Siafuds sera nulle; par conséquent, cette quantité sera un maximum ou un minimum.
De là résulte donc ce théorème général, que, dans le mouvement d'un système quelconque de corps animés par des forces mutuelles d'attraction, ou tendantes à des centres fixes, et proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, les courbes décrites par les différents corps, et leurs 'vitesses, sont nécessairement telles, que la somme des produits de chaque masse par l'intégrale de la vitesse multipliée par l'élément de la courbe est un maximum ou un minimum, pourvu que l'on regarde les premiers et les
derniers points de chaque courbe comme donnés, en sorte que les 'variations des coordonnées répondantes à ces points soient nulles. C'est le théorème dont nous avons parlé à la fin de la première section, sous le nom de Principe de la moindre action (*).
40. Mais ce théorème ne contient pas seulement une propriété très-remarquable du mouvement des corps, il peut encore servir à déterminer ce mouvement. En effet, puisque la formule Smfuds doit être un maximum ou un minimum, ïï n'y a qu'à chercher, par la méthode des 'variations , les conditions qui peuvent la rendre telle; et, en employant l'équation générale de la conservation des forces vives, on trouvera toujours toutes les équations nécessaires pour déterminer le mouvement de chaque corps. Car, pour le maximum ou minimum, il faut que la variation soit nulle, et que, par conséquent, on AitS.Sm fuds ^= o; et de là, en pratiquant dans un ordre rétrograde les opérations exposées ci-dessus, on retrouvera la même formule générale d'où l'on était parti.
Pour rendre cette méthode plus sensible, nous allons l'exposer ici en peu de mots. La condition du maximum ou minimum donne, en général, ^.Smfuds :^ o, et faisant passer le signe différentiel S sous les signes S et J (ce qui est évidemment permis par la nature de ces différents signes ) , on aura l'équation Smf^{uds) = o; ou bien, en exécutant la différentiation par â,
SmJ'{dsBu -h uêds) = o.
.le considère d'abord la partie SmJdsSu; en mettant pour ds sa valeur udt, e\le devient SmJuBudt , ou, changeant l'ordre des signes Set J, qui sont absolument indépendants l'un de l'autre, fdtSunuBu. Or l'équation générale du principe des forces vives donne (art. 54)
Su'^m :x= 2H — 2 S. Il m,
dli étant égal à Pdp -+- Qdq -\- B.dr + . . . ; donc, différentiant suivant &,
(*) L'intégrale Sinfuds est un masimum ou un minimum, si on la compare auK intégrales analogues relatives à tout autre mouvement du systtme qui sciait produit par les mêmes forces, et dans lequel, malgré l'introduction do liaisons nouvelles laissant subsister le principe des forces vives, les positions initiales et finales resteraient les mêmes Peut ctre cet énoncé , qui résulte évidemment dé k démonstration, n'est-il pas rendu assez explicite dans le texte. (/. Bertrand.)
■•2jS MECANIQUE ANALYTIQUE,
nn aura
SuUm= — S,î^nm= —^{VSp+QSq^RSr^, . .)m,
parce que II étant supposée une fonction algébrique dep, q, r, etc., la différentielle ^n est la même que la d\{^ en changeant seulement d en ^. Ainsi la quantité ?>mJdsSu se réduira à cette fbi'me,
~/(/£S(P^/^-H(Kry-hR^r+ . . .)m.
Je considère ensuite l'autre partie SmJuSds, et j'y substitue, à la place de ds, sa valeur exprimée par des coordonnées rectangles, ou par d'autres variables quelconques. En employant les coordonnées rectangles .x', y, s,
ds = \Jdx^ -h dj^ -h dz^ '■ donc, différentiant suivant S,
f , __ dxâc/x -hdyêdy-h-dzâdz
OU bien, en transposant les signes d, ^, et écrivant dS au lieu de ê'd^ ce qui est toujours permis à cause de l'indépendance de ces signes,
p, , dxddx -1- dydày + dzdSz
ds '
on aura ainsi, en substituant cette valeur, et mettant dt à la place de — ;
,. r, , rdxdâx -\- dydây ■+-dzdâz
jaUs = J z^
(jomme il se trouve ici, sous le signe intégral f, des différentielles des variations (Tx', Sf, S'z, il faut les faire disparaître par l'opération connue des intégrations par parties, suivant les principes de la méthode des variations. On transformera donc la quantité 1 — -r— en celle-ci, qui lui est équivalente,
et, supposant que les deux termes de la courbe soient donnés, en sorte que ies coordonnées qui répondent au commencement et à la fin de l'intégrale
ne varient point, on aura simplement
dt On trouvera de même
'dxdèx c r, , dx
et, pareillement,
/dydSy
-SSïd.%,
/dzdSz r^ ] dz
de sorte qu'on aura cette transformée
JuSd. = - j[S.d. 5 + Syd. î + i^d.'^y
Donc la quantité ?>mJuMs deviendra, en transposant les signes S et /', et supposant dt constant,
-Jd.s{.
Sxd. -^ -h Syd. ^, -\- ë'zd.-j^^
L'équation du maximum ou minimum, sera donc / P^p-hQSg^K^r^ ...
f'''\^,.d/^,^fyd.i,^i.d/^
laquelle devant avoir lieu, en général, pour toutes les variations possibles ("), il faudra que la quantité sous le signe / soit nulle à chaque instant ; on aura ainsi l'équation indéfinie
/ PSp-^QSq-^-KSr^ ... \
''[^S.d.§-^Syd±^S.d.§)^=-
équation qui est la même chose que la formule générale de la Dynamique (art. S, sect. Il), et qui donnera par conséquent, comme celle-ci, toutes les équations nécessaires pour la solution du problème.
(' ) Il n'est pas absolument exact de dire que cette équation a lieu pour toutes li sibles.carleséquatioiisde liaison doivent toujours être satisùites. La suppression de l'intégration pai rapport au temps semblerait devoir âtre justifiée d'une autre manière, en remarquant, par exemple, que les valeurs de ( entre lesquelles elle est prise sont arbitraires. {/. Bertiajid .)
aSo mf'canique analytique.
41 . Au lieu des coordonnées x, j, z, on peut employer d'auti'es iudéterluinées quelconques, et tout se réduit à exprimer l'élément de l'arc ds en fonction de ces indéterminées. Qu'on prenne, par exemple, le rayon ou la distance rectiligne à l'origine des coordonnées, qu'on nommera p, avec deux angles, dont l'un 4 soit l'incHnaison de ce rayon sur le plan des x ely, et l'autre (p soit l'angle de la projection du même rayon sur ce plan avec l'axe des .r, on aura
z^^ psin4j J = pcos4 sinip, x =^ pcos4<^osip,
et, de là, on trouvera
ds'^ T= dx^ -\- dy^ -j- dz^ = dp^ -+- p* (d-^^ -+- cos 4^ d<fi'' ) ,
expression qu'on pourrait aussi trouver directement par la Géométrie. Différentiant donc par 1^, et changeant Sd en dS, on aura
dsSds = dpdé'c
'-\- fi{d'^^ -+- cos'^^ d(p^) Sp-\- p^ {d-^d^"l — sin-^cos'l d<p^ S'^l^cos'^- d<pdé(p} ;
d'où, en divisant par dt = —j et en intégrant, on aura
fuUs=J- 3J-
'dpdô p + p {di^^ -+- i:os'^^ df-)dfi dt ' p^ {^dif d&<]^ — ■ sïii iji tos (f"^<f ^ (f' + çah^'^ d'^dèf^)
On lera disparaître de dessous le signe f les doubles signes dh\ par des intégrations par parties, et l'on rejettera d'abord les termes qui contiendraient des variations hors du signe J, parce que ces variations devant alors se rapporter aux extrémités de l'intégrale, deviennent nulles par la supposition que les premiers et derniers points des courbes décrites par les corps soient donnés et invariables. On aura ainsi cette transformée ,
JuS'ds ^= — JduSs
par conséquent, t'équation du maximum ou minimum sera
. ^ \^ dt^ ^ /i(^ ^/ ■ dt- ^
Egalant à zéro la quantité qui est sous le signe /, on aura une équation indéfinie, analogue à celle de l'article précédent, maïs qui, au lieu des variations ^x, Jy, S'Zy contiendra les iTp, ^tj5, (J'4; et l'on en tirera les équations nécessaires pour la solution du problème, en réduisant d'abord toutes les variations au plus petit nombre possible, faisant ensuite des équations séparées des termes affectés de chacune des variations restantes.
En employant d'autres indéterminées, on aura des formules différentes, et l'on sera assuré d'avoir toujours, dans chaque cas, les formules les plus simples que la nature des indéterminées puisse comporter. Ployez le second volume des Mémoires de t Académie de Turin, où l'on a employé cette méthode pour résoudre différents problèmes de Mécanique (').
42. Au reste, puisque ds ;^ udty la formule Smfuds, qui est un maximum ou un minimum, peut aussi se mettre sous la forme Hmfu^dt, ou fdt^mu'', dans laquelle Sma^ exprime la force vive de tout le système dans un instant quelconque. Ainsi le principe dont il s'agit se réduit proprement à ce que la somme des forces vives instantanées de tous les corps, depuis le moment où ils partent des points donnés, jusqu'à celui où ils arrivent à d'autres points donnés, soit un maximum ou un minimum. On pourrait donc 1 appeler, avec plus de fondement, le principe de la plus grande ou plus petite force vice; et cette manière de l'envisager aurait l'avantage d'être générale, tant pour le mouvement que pour l'équilibre, puisque nous avons vu dans la sect. III de la V^ partie (art. 22), que la force vive d'un système est toujours la plus grande ou la plus petite dans la situation d'équilibre.
(*} ^oyez aussi une Noie remarquable d'Olinde Rodrigues, Coirfspondance sur- l'École Polytcclinique, tome III, page rSg. (/. Bertrand.)
QUATRIÈME SKCTION.
lÎQUATIONS DIFFÉRENTIELLES POUH LA SOLUTION DR TOUS LÈS PKOliLKMES DE DÏNAMIQUE.
l. La formule à laquelle nous avons réduit, dans la sect. Il, toute k tliéorie de la Dynamique, n'a besoin que d'être développée pour donner toutes les équations nécessaires à la solution de quelque problème de cette science que ce soit ; mais ce développement, qui n'est qu'une affaire de pur calcul, peut encore être simplifié, à plusieurs égards, par les moyens que nous allons employer dans cette section.
Comme tout consiste à réduire les différentes variables qui entrent dans la formule dont il s'agit, au plus petit nombre possible, par le moyen des équations de condition données par la nature de chaque problème, une des principales opérations est de substituer, à la place de ces variables, des fonctions d'autres variables. Cet objet est toujours facile à remplir par les méthodes ordinaires; maïs il y a une manière particulière d'y satisfaire relativement à la formule proposée, qui a l'avantage de conduire toujours directement à la transformée la plus simple.
2. Cette formule est composée de deux parties différentes qu'il faut considérer séparément.
ha première contient les ternies
qui proviennent uniquement des forces résultantes de l'inertie des corps. La seconde est composée des termes
S{PSp^QSq^RSr^ ...}m,
dus aux forces accélératrices P, Q, R, etc., qu'on suppose agir effectivement sur chaque corps, suivant les lignes /j, q, r, etc., et qui tendent à diminuer ces lignes. La somme de ces deux quantités étant égalée à zéro, constitue la formule générale de la Dynamique (sect. U, art, S),
SECONDE PARTIE, LA UYNAI^lIQUE. J,H i
3. Considérons d'abord !a quantité d^xSx -\- d^y^y -+- d"zS'z\, il est daii que si l'on y ajoute celle-ci, dxdS'x -\- dydSy + dzd^z, la somme sera mtégrable, et aura pour intégrale dxS'x H- dySy -j- dzS'z- D'où il suit que l'on a
d'^xS'x -\- d.''y^y + d'-zS'z = d. [dœSx -\- dyêr -h dz^z)
— dxdSx — dydSy — dzdS'z.
Or, le double signe t/i' étant équivalent à ^d, par les principes connus, la quantité dxdS'x -h dydSy -f- dzdS'z peut se réduire à la forme
dxS'dx -+- dySdy -+- dz^dz, c'est-à-dire à \S\{dx'^ -^ dy'^ -\- dz'].
Ainsi l'on aura cette réduction
d'x^x -h d^yêy -h d'^zSz ^= d. {dxSx -+- dySy -+- dzhz)
— ^S{dx- -f- dy"^ -h c/z^),
par laquelle on voit que pour calculer la quantité proposée
d'^xSx + d,^ySy H~ d'^z&z,
ii suffit de calculer ces deux-ci, qui ne contiennent que des différences premières,
dxS'x -h dyèy H- dzSz, dx"^ -h df' + dz' ,
et de différentier ensuite l'une par rapport à d, et l'autre par rapport à S.
4. Supposons donc qu'il s'agisse de substituer à la place des variables x, y, z, des fonctions données d'autres variables ^, 4, (p, etc. ; difïerentiant ces fonctions, on aura des expressions de la forme
dx = Ad^ H- Bd-^ + Cdip H- . . . , dy = A'd^ -h B'c/4 + C'd<p H- - . - , dz = A"(^g + B"d4-h G"d<p-^ .. . ,
dans lesquelles A, A', A", B, B', etc., seront des fonctions connues des mêmes variables Ç, 4^ ?) etc. ; et les valeurs de âx, Sj, as seront exprimées aussi de la même manière, en changeant seulement d en S.
Faisant ces substitutions dans la quantité dxox -h dy^^y --]- dz'iz, elle
a8/î MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
deviendra de cette forme,
où F, G, H, I, etc. , seront des fonctions finies de ^, -\[ , ?, etc.
Donc, changeant S en d, on aura aussi la valeur de dx^ -^ dy'' -\~ dz'- , laquelle seia
F^f + 2 Gd%d-\ H- Rd-^-' -+- 2 id^d^ -^ ....
Qu'on différentie par d la première de ces deux quantités, on aiira la différentielle
f/.(Ft/^).Sg + F^^c/SÇ ->rd.{(}d^).H
-h d.{Qd-^).^%-^G d'idt-^ + Gd-\dl?,
différentiant ensuite la seconde par 5, on aura celle-ci :
o^tVf H- aFf^gS£/^+ ^^Gd^d-\^ iGd-^U'i
--1- -iG-d^od-^.^ l\\d-\''-{- lU.d-^ld'l -h
Si donc l'on retranche la moitié de cette dernière différentielle de la première, et qu'on observe que di et '^d sont la même chose, on aura
rf. (F(^^ ) . Sg — jSFf/g^ H- ^. (Gt^?) . â4 -h d.{Gd-^) . Sg — {ZGd^d-\ + d. (11^4) . §4 — i-SH(/4'' -!-■■■>
pour la valeur transformée de la quantité d'^x^x -\- d'y^y -H d^z^z.
Or il est visible que cette valeur peut se déduire immédiatement de la dernière différentielle, en divisant tous les termes par 2, en changeant les signes de ceux qui ne contiennent point la double caractéristique od, et eu effaçant dans les autres la d après la B, pour l'appliquer aux quantités qui multiplient les doubles différences affectées de Sd. Ainsi le terme SVd^'donne — ^SFi^g', le terme aFt/ÇS(/g donnera d.{Fd^).S^, le terme '2 Hid^d-^ donnera —BGd^d'l^le terme iGd-^^^d^ donnera d.{Gd'i).BB, et ainsi des autres.
D. D'où il s'ensuit que si l'on désigne par $ la fonction de Ç, 4i f' ^t*^- ^ et de d^, d-^, d(p, etc. , dans laquelle se transforme la quantité
I (dx" -h dj- -h dz" )
par la substitution des valeurs de ^c,/, s, en Ç, 4; ?) etc., on aura, en général , cette transformée
d'^iXox -h d^jSy + d'^zSz
,.-u?-H(-ïr+.^.^^)^4
en dénotant, suivant l'usage, par jy le coefficient de J'Çdansla différence ^0; par -j-yr le coefficient de Sd^ dans la même différence ; et ainsi des autres.
6. Ce qu'on vient de trouver d'une manière particulière, aurait pu l'être plus simplement et plus généralement par les principes de la méthode des variations.
Soit, en effet, 4» une fonction quelconque de x, y, z, etc., dx^ dy, d,z. d^x, d^y, d^z, etc., laquelle devienne une fonction de ^, 4? 'P> etc., d^, d'^, d<p, etc., d^^, ^^4' '^*?'i ^t*^-' P^'' ^^ substitution des valeurs de x,j\ z, etc. , exprimées en 0, 4» 'Pi etc. ; en différentiant par rapport à S', on aura cette équation identique,
-i- TT-^^ -H ïr:j-''«2 -l- -szjr- od-'z -h ...
=JÎ^?-:
£?È^ip -F . . -
-îSf^'*'?
a86 MECANIQUE ANALYTIQUE.
Qu'oJi y change les doubles signes Sd, Sd^, etc. , en leurs équivalents do, d-^\ etc. ; qu'ensuite on intègre par rapport à d, et qu'on fasse disparaître, par des intégrations par parties, tous les doubles signes dS\ d^S, etc., sous Je signe intégral / qui se rapporte au signe différentiel d; on aura une équation de cette forme :
J(Ah:
^BJj +C.S2
