Il résulte de là que pour avoir la valeur de la quantité
en fonction de Çi 4= ^P' eX.i:.., il suffira de chercher la valeur de la quantité
c. / dx'^ ■+- dy^ + dz^- \ o[ ■^.-, — m.
en fonction de ^, 4' "P» ^tc- 1 ^t de leurs différentielles ; car, nommant T cette fonction , on aura sur-le-champ la transformée
Kt cette transformation aura lieu cgalemcnt, quand même parmi les nouvelles variables il se trouverait le temps t, pourvu qu'on le regarde comme constant, c'est-à-dire qu'on fasse è^t = o.
De pins, il est facile de voir qu'une pareille transformation aura lien aussi dans le cas où les variations S^, ^4î ^^^ 6t<^-5 ^'^ seraient pas des différentielles exactes, pourvu qu'elles représentent des quantités indéterminées, et que la variation ST soit de la forme
"■ = f ^5 + Si,^^i^^H + S;^<'H + .. .,
quels que soient d'ailleurs les coefficients ^ i tTï ' j^ ' ^**^'
8. Au reste, il est bon de remarquer que si l'expression de T renferme
un terme dk, qui soit la différentielle complète d'une fonction A dans laquelle une des variables, comme §, n'entre que sous la forme finie, ce terme ne donnera rien dans la transformée précédente, relativement à cette variable. Car, faisant
T = rfA=^rf?+i^rf4+...,
^ dA . dA dA JT °"dr , "dî , , - dV n - rl{''i^ if''-i
ddl
d^A ,- d^k , , , dA
= de '^^-^didi'''^^ ■■■-''■ di
Ltonc a . -^—- -
— ^ ) coefficient de S§, deviendra
, dA , dA
Il s'ensuit de là que si l'expression de T contenait un terme de la forme B(/A, A étant fonction de g, 4i etc. , sans d^, et C une fonction quelconque sans 5, ce terme donnerait simplement, relativement à la variation de ^, le
terme -yv dh-
Car donnant au terme B(^A la forme d.l^Pi) — Ac^B, on voit d'abord que le terme d.()àA.) ne donnerait rien relativement à la variation de Ç, puisque AB contient ^ sans d^ ; ensuite, comme c^B ne contient point § ni d^, et que A contient § sans d^^ on voit qu'en faisant T ^:= — AtiB, on aura
T-TF = O , et -.— ^= ~ -jnr du ;
de sorte que le coefficient de S^ se réduira à -^ t/B.
9. A l'égard de la quantité V^p + (^Sq H- R J'r -H . . . , elle est toujours facile à réduire en fonction de 0, 4? ?' etc., puisqu'il ne s'agit que d'y réduire séparément les expressions des distances p, ç, r, etc. , et des forces P, Q, R, etc. Mais cette opération devient encore plus facile, lorsque les forces sont telles, que la somme des moments, c'est-à-dire la quantité
yGoosle
est intégrable, ce qui, comme nous l'avons déjii observé, est proprement ie cas de la nature.
Car supposant, comme dans l'art. 34 de la sect. III,
du = 'Pdp -h Qdq -+- Rdr -f- . . . ,
on anra II exprimé par une fonction Unie de /?, c/, r, etc.; par conséquent, on aura aussi
Su = Vêp H- QS'j -+- Kêr -h ....
Multij)liant par m et prenant la somme pour tous les corps du système, on aura
S(PS/ï-hQàry + RSr -h . . .)m:^S5nm = â.Snm,
puisque le signe S est indépendant du signe S.
il n'y aura ainsi qu'à chercher la valeur de ia quantité Sllin en fonction de f , 4, <?, etc. ; ce qui ne demande que la substitution des valeurs de x, j, z, en I, 4) ?) etc., dans les expressions de p, q, etc. (art. I, sect. Il, I" partie) ; et cette valeur de Snm étant nommée V, on aura immédiatement
10. De cette manière, la formule générale de la Dynamique (art. 2 1 sera transformée en celle-ci ;
^â^ + ^ù-\ + <ii3(p + , . . =^ o,
dans laquelle on aura
» . 3'r dT <îv
w-d ^-l iî + il * ~ èd<\^ d'^ "^ d^ '■
, ^T cJT 3\
en supposant
■T;.^^( -i.'+df+ J£\ v = Snm,
SECOSDï! PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3^1
dll ^ Pdp -h Qdq -H Kdr -f- . . . .
Si les corps m et m' du système, regardés comme des points dont la distance mutuelle est p, s'attiraient avec une force accélératrice représentée par P fonction de p, il est facile de voir que le moment de cette force serait exprimé par mm'Pi^p, et il faudrait ajouter à la valeur de V la quantité inm'JP<^p; et ainsi s'il y avait dans le système d'autres forces d'attraction mutuelle.
En général, si le système renfermait des forces quelconques F, G, etc., tendantes à diminuer la valeur des quantités /, g, etc., on aurait F^fy G(S"g", etc. , poui- les moments de ces forces (art. 9, sect. ÎI, I" partie) ; et en regardant F comme fonction de/i G comme fonction de g, etc., il faudrait ajouter à la valeur de V autant de termes de la forme JFdJ', JGdg^ etc., qu'il y aurait de pareilles forces.
Or, si dans le choix des nouvelles variables ^, 4^ 'Pi Ptc, on a eu égard aux équations de condition données par la nature du système proposé, en sorte que ces variables soient maintenant tout à fait indépendantes les unes des autres, et que, par conséquent, leurs variations Sg, §4' ^?' ^^c, demeurent absolument indéterminées, on aura sur-le-champ les équations particulières S.= o, ^F = o, <I> ^= o, etc., lesquelles serviront à déterminer le mouvement du système ; puisque ces équations sont en même nombre que les variables Ç, 4' ^Pj ^^c. , d'où dépend la position du système à chaque instant.
11. Mais quoiqu'on puisse toujours ramener la question à cet état, puisqu'il ne s'agit que d'éliminer, par les équations de condition, autant de variables qu'elles permettent de le faire, et de prendre ensuite pour ^, 4, <p, etc. , les variables restantes; il peut néanmoins y avoir des cas où cette voie soit trop pénible, et oîi il soit à propos, pour ne pas trop compliquer le calcul, de conserver un plus grand nombre de variables. Alors les équations de condition auxquelles on n'aura pas encore satisfait, devront être employées à éliminer, dans la formule générale, quelques-unes des variations S0, S4î etc. ; mais, au heu de l'élimination actuelle, on pourra aussi faire usage de la méthode des multiplicateurs, exposée dans la T'^ partie (sect. IV).
Soient r.= o, M=^o, N^o, etc., les équations dont il s'agit, réduites en
yGoosle
fonctions de ^, 4i 9? &i<^-, en sorte que h, M, N, etc., soient des fonctions données de ces variables. On ajoutera au premier membre de la formule générale (article précédent) la quantité ?iSL + ^âiM + vâN + . . . , dans laquelle A, w, v, etc., sont des coefficients indéterminés; et l'on pourra regarder alors les variations â^, ^-^j Sip, etc., comme indépendantes et. arbitraires.
On aura ainsi l'équation générale
2^"^ + W'S4 H- *^> -h ... -h a5L -h yM\ H- voN -^ . . . =Q,
laquelle devant être vérifiée indépendamment des variations 50, S4î ^^, etc. , donnera ces équations particulières pour le mouvement du système,
cîL ÙM
CÎN '1^ ^ ■ '
ON
d'oii il faudra ensuite éliminer les inconnues A, m, r, etc., ce qui diminuera d'autant le nombre des équations; mais en y ajoutant les équations de condition qui doivent nécessairement avoir lieu, on aura toujours autant d'équations que de variables.
Ï2. Comme ces équations peuvent avoir différentes formes plus ou moins simples, et surtout plus ou moins propres pour l'intégration, il n'est pas indifférent sous quelle forme elles se présentent d'abord ; et c'est peut-être un des principaux avantages de notre méthode, de fournir toujours les équations de chaque problème, sous la forme la plus simple, relativement aux variables qu'on y emploie, et de mettre en état de juger d'avance quelles sont les variables dont l'emploi peut en faciliter le plus l'intégration. Voici, pour cet objet, quelques principes généraux, dont on verra ensuite l'application dans la solution de différents problèmes.
Il est clair, par les formules que nous venons de donner, que les ternies différentiels des équations pour le mouvement d'un système quelconque de corps, viennent uniquement de la quantité T qui exprime la somme de toutes
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. y.gS
les quantités -^ ~^a——~ "*' relativement aux différents corps; chaque
variable finie, comme 0, qui entrera dans l'expression de T donnant !e
terme ry-j et chaque variable différentielle, comme t/^, donnant le terme
d. jjr- D'où l'eu voit d'abord que les termes dont il s'agit ne pourront contenir d'autres fonctions des variables, que celles qui se trouveront dans l'expression même de T ; par conséquent, si, en employant des sinus et cosinus d'angles, ce qui se présente naturellement dans la solution de plusieurs problèmes, il arrive que les sinus et cosinus disparaissent de la fonction T, elle ne contiendra alors que les différentielles de ces angles, et les termes en questJon,ne contiendront aussi que ces mêmes différentielles. Ainsi il y aura toujours à gagner, pour la simplicité des équations du problème, à employer ces sortes de substitutions.
Paj- exemple, si, à la place des deux coordonnées x,/, on emploie le rayon vecteur r, mené du centre des mêmes coordonnées, et faisant avec l'axe des x l'angle <E, on aura
X = rcos<p, }' =^ r s\n<p, et différentiant,
dx := cos çdr — r sin <pdip, dy = sin <pdr H- /■ cos (pd(p ; donc,
dx:^ -h dy^ = dr"' -i- r^dip'^,
expression fort simple, qui ne contient ni sinus ni cosinus de (p, mais seulement sa différentielle df. De cette manière, la quantité dx^ -+- dj^~{- dz" se trouvera changée en r^dip'^ -\- dr^ -+- dz^ .
On pourrait encore substituer, au fieu de /' et z, un nouveau rayon vecteur p avec l'angle ^ que ce rayon fait avec r qui en est la projection ; ce qui donnerait
/■ = pcos-^, z = psin4î et, par conséquent,
dr^ -h dz^ = df -}- fd'].'^ ;
de sorte que la quantité cfx'^ -|- dy' -h dz' serait transformée en celie-ci :
2q'4 mécanjque analytique.
Ici il est clair que p sera le rayon mené du centre des coordonnées au point de l'espace où est le corps m, 4 sera l'inclinaison de ce rayon sur le plan des X et j, et ^ l'angle de ta projection de ce rayon sur le même plan avec l'axe des x; et l'on aura, comme dans l'art. 4 de la sect. II, F*' partie,
,T ^^ û cos 4 <'Os ç, X ^^^ p cos 4 sin ip, z = p sin 4-
Enfin, on pourra employer à volonté d'autres substitutions, et, lorsque le système est composé de plusieurs corps, on pourra les rapporter immédiatement les uns aux autres par des coordonnées relatives; les circonstances de chaque problème indiqueront toujours celles qui seront le plus propres. On pourra même, après avoir trouvé, d'après une substitution, une ou quelques-unes des équations du problème, déduire les autres d'antres substitutions : ce qui fournira de nouveaux moyens de diversifier ces équations, et de trouver les plus simples et les plus faciles à intégrer.
15. Les autres termes des équations dont il s'agit dépendent des forces accélératrices qu'on suppose agir sur les corps, et des équations de condition qui doivent subsister entre les variables relatives à la position des corps dans l'espace.
Lorsque les forces P, Q, R, etc., tendent à des centres fixes ou à des corps
du même système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des
distances, comme cela a lieu dans la nature, la quantité V qui exprime la
somme des quantités mf iP dp -\-Qdq -+-'SLdr ~h , . .) pour tou.s les corps m du
.système, sera une fonction algébrique des distances, et fournira pour chaque
âV variable ^ dont elle se trouvera composée, un terme fini de la forme -jj-
De même les équations de condition L =^ o, M = o, etc. , fourniront pour la même variable Ç les termes ?^~i..'' f^-x^f etc. , et ainsi des autres. De sorte qu'il n'y aura qu'à ajouter à la valeur de V les quantités /L, ^M, etc., en regardant ensuite A, ^, etc. , comme coastantes dans les différentiations en Ô.
Si donc quelques-unes des variables qui entrent dans la fonction T, n'entrent point dans V, ni dans L, M, etc. , les équations relatives à ces variables ne contiendront que des termes différentiels, et l'intégration n'en sera que plus faeile, surtout si ces variables ne se trouvent dans T que sous la forme différentielle. C'est ce qui aura lieu lorsque, les corps étant attirés vers
des «entres, on prendra les distances à ces centres, et les angles décrits autour d'eux pour coordonnées,
14. Une intégration qui a toujours lieu lorsque les forces sont des Ibnctions de distances, et que les fonctions ï, V, L, M, etc., ne contiennent point la variable finie (, est celle qui donne le principe de la conservation des forces vives. Quoique nous ayons déjà montré comment ce principe résulte de notre formule générale de la Dynamique {sect. III, art. 34) , il ne sera pas inutile de faire voir que les équations particulières déduites de cette formule, fournissent toujours une équation intégrable, qui est celle de la conservation des forces vives.
Ces équations, considérées dans toute leur généralité, étant chacune de la forme (art. 11)
si on les ajoute ensemble après les avoir multipliées par les difïërenti elles respectives d^, d'^, etc., et qu'on fasse attention que les quantités V, h, M, etc., sont par l'hypothèse des fonctions algébriques des variables ^, 4, etc., sans t, il est clair qu'on aura l'équation
/" , ûT cJT\ ,y I , cST â'ï:\ , ,
+ .i/V + Aé/L -h udM + . . . = o ;
mais L = o, M = o, etc., étant les équations de condition, on aura généralement dh = o, dM = o, etc. ; par conséquent, l'équation [irécédente se réduira à
Or on a
et comme T est une fonction algébrique des variables f , 4) <^^f*'- > ^'^ ''^ leurs différentielles d%^ d-\, etc., sans ï, on aura
.jq6 MÉCA.NIQUE ANALYTIQUE.
rionc l'équation deviendra
laquelle est évidemment intégrable, et dont l'intégrale est
S''?+"4;''^+--—T + V=eons..
Maintenant, puisque T = S -^— ^^ ^,"^ m, il est évident que, quelques variables qu'on substitue pour x, y, s, la fonction résultante sera nécessairement homogène et de deux dimensions, relativement aux différences de ces variables; donc, par le théorème connu, on aura
Tai^'S + wV-^-i- ■•■ = ='■''•
Donc l'intégrale trouvée sera simplement ï -+- \' = const., laquelle contient le principe de la conservation des forces vives (sect. Ill, art. 34).
Si la quantité V n'était pas une fonction algébrique (*), on n'aurait pas c/V ^= -;^ rfÇ H- . . . , et si les quantités T, L, M, etc., contenaient aussi la variable t, alors leurs différentielles (/T, (/L, (^M, etc., contiendraient aussi les termes -ft- dt, -j- dt, -«— dt, etc. ; donc les réductions qui ont rendu l'équation intégrable n'auraient plus lieu, ni par conséquent le principe de la conservation des forces vives.
15. Quoique le théorème sur les fonctions homogènes dont nous venons de parler, soit démontré dans différents ouvrages, et qu'on puisse, par conséquent, le supposer comme connu, la démonstration que voici est si simple, que je ne crois pas devoir la supprimer. Si F est une fonction homogène de
(*) Il faut, poor comprendre ce passage, se rappeler la défînifiûo de la (onction Y, On a posé (art. 9) (;n = Prf/) + Qrf7 + R.rfr+ . . ., puis ensuite V= Snm. Pour que V soit, suivant l'expression deLagrange, une fonction algébrique, il (aut et il suffit que 11 en soit une, c'est-à-dire que Vdp -H Q rfç -H îî. rfr + ... soit une différentielle esacte; si cela n'a pas lieu, la fonction n n'existe plus, et il en est de même de V : fonction algébrique signifie simplement ici fonction, et cette expression ne doit, en aucune façon , être regardée comme opposée à celle de fonction non algébrique.
(/. Bertrand.]
différentes variables os, y, etc., et qu'elle soit de la dimension n, il est clair qu'en y mettant ax, ay, etc. , à la place de x, y, etc. , elle deviendra nécessairement a"F, quelle que soit la quantité a. Donc, faisant a ::= i -H «, et regardant a comme une quantité infiniment petite, l'accroissement infiniment petit de F, dû aux accroissements infiniment petits «x, ay, etc., àeœ,y, etc., sera w«F. Mais en faisant varier ce, y, etc. , de ax, ay, on a, en général, pour la variation de F,
Done, égalant ces deux expressions de l'accroissement de F, et divisant par a, on aura
,. âF âF
O.T OJ ■'
16. L'intégrale relative à la conservation des forces vives est d'une grande utilité dans la solution des problèmes de Mécanique, surtout lorsque la fonction T ne contient que la différentielle d'une variable qui ne se trouve point dans la fonction V ; car cette intégrale servira alors à déterminer cette même variable, et à l'éliminer des équations différentielles.
A l'égard des intégrales qui se rapportent à la conservation du mouvement du centre de gravité, et au principe des aires, et que nous avons déjà trouvées d'une manière générale dans la seet. ÏII, elles se présenteront d'ellesmêmes dans la solution de chaque problème, pourvu qu'on ait soin, dans le choix des variables, de séparer le mouvement absolu du système, des mouvements relatifs des corps entre eux, ainsi que nous l'avons fait dans la section citée.
Les autres intégrales dépendront de la nature des équations difféientielles de chaque problème; et l'on ne saurait donner de règle générale pour les trouver. Il y a cependant un cas très-étendo, qui est toujours susceptible d'une solution complète en termes finis ; c'est celui où le système ne fait que de très-petites oscillations autour de sa situation d'équilibre. Nous destinons une section particulière à ce problème, à cause de son importance.
17. Lorsque le système dont on cherche le mouvement est composé d'une infinité de particules ou éléments dont l'assemblage forme une masse finie de
Méc. anal. 1. 38
ggg MECANIQUE ANALYTIQUE.
figure variable, il faut employer nue analyse semblable à celle que nous avons exposée dans le § II de la sect. IV de la V partie ; mais à la place de la caractéristique d, que nous y avons employée (art. i 1 et suiv. ) pour désigner les différences des variables relatives aux différents éléments du système, il faudra substituer la caractéristique D, qui répond à la caractéristique intégrale S, relative à tout le système, afin de pouvoir conserver l'autre caractéristique d pour les difierences relatives au temps, auxquelles nous l'avons destinée dans la sect. II de la seconde partie, art. 7.
Ainsi en nommant m la masse entière, et Dm un de ses éléments, il faudra mettre Dm au lieu de m dans les expressions de T et de V de l'art. ÏQ.
S'il y a pour chaque élément du corps des forces F, G, etc., qui tendent à diminuer les quantités/", g, etc., dont ces forces sont fonctions, il faudra ajouter à la valeur de V les expressions SJFdy, SJGdg, etc.
Et s'il y a des équations de condition L = o, M =1^ o, etc., qui doivent avoir lieu à chaque point de la masse m, il faudra mettre SaSL, S^SM, etc., à la place de aSL, ^SM, etc., dans les formules de l'art, lî.
Les quantités y, g, etc., ainsi que L, M, etc., pouvant renfermer des différences des variables relatives à la caractéristique D, il faudra alors faire disparaître les doubles signes SD, SD^, etc., par l'opération connue des intégrations par parties, de manière qu'il ne reste sous le signe S que les variations simples marquées par S; et les termes hors du signe S se rapporteront uniquement aux extrémités des intégrales.
Il faudra enfin avoir égard aussi aux forces et aux équations de condition relatives à des points déterminés de la masse m, et en tenir compte dans la formule générale; mais elles ne donneront que des termes indépendants du signe S.
Les variations qui resteront sous le signe S donneront, en égalant leurs coefficients à zéro, autant d'équations indéfinies pour le mouvement de chaque élément du système ; et les variations hors du signe donneront des équations déterminées pour certains points du système.
