CINQUIÈME SECTION

MÉTHODE GÉNÉRALE D'APPROXIMATION POUR LES PROBLÈMES DE DYNAMIQUE, FONDÉE SUR LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES.

Les équations générales que nous avons données dans la section précédente étant du second ordre, demandent encore des intégrations qui surpassent souvent les forces de l'analyse connue ; on est obligé alors d'avoir recours aux approximations, et nos formules Iburnissent aussi les moyens les plus propres à remplir cet objet.

1. Toute approximation suppose la solntion exacte d'un cas de la question proposée, dans lequel on a négligé des éléments ou des quantités qu'on regarde comme très-petites. Cette solution forme le premier degré d'approximation, et on la corrige ensuite en tenant compte successivement des quantités négligées.

Dans les problèmes de Mécanique qu'on ne peut résoudre que par approximation, on trouve ordinairement la première solution en n'ayant égard qu'aux forces principales qui agissent sur les corps; et pour étendre cette solution aux autres forces cju'on peut appeler perturbatrices, ce qu'il y a de plus simple, c'est de conserver la forme de la première solution, mais eu rendant variables les constantes arbitraires qu'elle renferme ; car, si les quantités qu'on avait négligées, et dont on veut tenir compte, sont très-petites, les nouvelles variables seront à peu près constantes, et l'on pourra y appliquer les méthodes ordinaires d'approximation. Ainsi la difficulté se réduit à trouver les équations entre ces variables.

On connaît la méthode générale de faire varier les constantes arbitraires des intégrales des équations différentielles, pour que ces intégrales conviennent aussi aux mêmes équations augmentées de certains termes; mais la forme que nous avons donnée, dans la section précédente (art. 10), aux équations générales de la Dynamique, a l'avantage de fournir une relation entre les variations des constantes arbitraires que l'intégration doit y introduire, laquelle simplifie singulièrement les formules de ces variations, dans les problèmes où elles expriment l'effet des forces perturbatrices. Nous allons d'abord démontrer cette relation ; nous donnerons ensuite les équations les plus

3oO MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

simples pour déterminer les variations des constantes arbitraires dans let, problèmes dont il s'agit.

g I, — Où l'on déduit des équations données dans la section précédente, une relation générale entre les -variations des constantes arbitraires.

2. Soit lin système quelconque de corps m, animés par des forces accélératrices P, Q, R, etc. , qui tendent à des centres quelconques fixes ou non, et qui .soient proportionnelles à des fonctions quelconques de leurs distances p, q, r, etc., à ces centres.

Supposons qu'en ayant égard aux équations de condition du système, on ait exprimé les coordonnées œ, j, z de chacun des corps, en fonctions d'autres variables ^, 4; <?! etc., qui soient tout à fait indépendantes entre elles, et qui suffisent pour déterminer la position du système à chaque instant.

On aura, pour le mouvement de tout le système, les équations de l'art. 10 de la section précédente, et il est facile de voir que ces équations seront du second ordre par rapport aux variables |, 4» ?> ^tc. ; de sorte que les valeurs complètes de ces variables, qu'on trouvera par l'intégration, et qui seront exprimées en fonctions du temps t, contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables. Comme ces constantes doivent demeurer arbitraires, on peut les faire varier à volonté ; ainsi on pourra différentier les équations dont il s'agit relativement à ces constantes, qui sont supposées contenues dans les expressions des variables §, 4? ?? etc.

3. Faisons, pour plusde simplicité, d^=^^'dt, d-^ =-^' dt,dqi=:(p' dt, etc. , la quantité T deviendra une fonction de ^, 4) ?; ^t^., et de Ç', 4) <P') "^tc. ; et si les forces tendent à des centres fixes, ou à des corps du même système, la quantité V sera une simple fonction de ^, 4 > "Pj etc. Dans ce cas, en faisant Z ^ T — V, on aura

^T âZ âT __ __^Z__ JT â Z

Jdï oV'^t ' Jd^ l^'dt ' 5^ ^^ è^'~(ïi ' ■ ■ • '

où l'on pourra changer la caractéristique i^ en d, puisqu'elle ne sert qu'à représenter des différences partielles.

Ainsi les équations différentielles du mouvement du système (art. 10, sec-

SECONDE PARTIE. — LA DYIVAMIQUE. 3oi

tion précédente), étant multipliées par dt, se réduiront à cette forme pins simple,

, dij dli ,

, dZ dZ j^

4. Difïérentions ces équations par rapport à la caractérisitique ^(*), que nous regarderons comme relative uniquement aux variations des constantes arbitraires qui sont censées contenues dans les expressions des variables g, 4, <p, etc. , dont Z est fonction ; et comme la caractéristique d, qui affecte les

aZ , dZ

■dï"

temps, on pourra, par les principes du calcul des variations, changer la double caractéristique Sden dS; de sorte qu'on aura les équations

dS. -j-rr — S. -y--dt=^ o,

d'il d'il

dif d<f

De même, si pour représenter des variations différentes des mêmes constantes arbitraires, on emploie la caractéristique A, on aura

dA.f^,-

(*) On suppose ici que ces équations ayant élé intégrées, on ait substitué aux variables ?, I,--leurs expressions générales fournies par cette intégration. Les équations deviennent alors identiques et l'on peut les différentîer par rapport aux diverses lettres qui y figurent. (/. Berirnnd.)

3oa MJÉGANIQUE ANALYTIQUE.

5. Multiplions maintenant les premières équations respectivement par A^, a45 Atp, etc., et retranchons de leur somme celle des dernières équations multipliées respectivement par S'^, i-^, S'tp-, etc., on aura

+ (jSA.f + J4A.5 + S,A4V...)rf< = o.

Or4|d5.2|j=<i.(A?S.§|') — rfA|8.^;maisrfA| = Arf? = A?'A, à cause de d^ ^^ ^'df, (hyp.) ; donc

A?rfS.f=rf.(ASS.f)-Ar3.frf*.

On aura pareillement

SJrfA.f = rf.(»5A.f)-8rA.f A,

et ainsi des autres formules semblables.

Par le moyen de ces transformations, féquation précédente deviendra de cette forme,

AgS.

rfZ

SipA.

rfZ

, dl dl

A-jS

AfS

<iz

+ Ag'S,

■Sj?

dl ■ dl

rfZ

StpA

rfZ

■dï'

■ Sf