Ainsi on aura simplement l'équation

1 ^^ . dZi ^1 JZ « d'L \

\ - *?'^-5î'-«44-3-^,- »?i- rf^ - • ■ ■ !

dans laquelle on peut changer Z en T, puisque Z ^^ T — V, et que V no doit point contenir les variables §', 4'? <p' •> etc. (art. 5). On voit par cette équation que la quantité

est toujours nécessairement constante relativement au temps t, auquel se rapportent les diflérentielles marquées par la caractéristique d; que, par conséquent, si l'on y substitue les valeurs des variables ^, -^^ tp, etc. , exprimées en fonctions de t et des constantes arbitraires, déduites des équations d'un problème quelconque de Mécanique, la variable t s'évanouira d'elle-même, quelles que soient les variations qu'on fera subir à ces constantes dans les quantités afrectées des caractéristiques â et A; ce qui est une nouvelle propi'iété très-remarquable de la fonction T, qui représe^ite la force vive de tout le système, et ce qui peut fournir un critère général pour juger de l'exactitude d'une solution trouvée par quelque méthode que ce soit. Mais l'usage principal de cette formule est pour la variation des constantes arbitraires dans les questions de Mécanique, comme nous allons le montrer.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 3o5

§ U. — Où L'on donne les équations différentielles les plus simples pour déterminer les -variations des constantes arbitraires , dues à des forces perturhaXrices .

8. Supposons maintenant qu'après avoir résolu le problème contenu dans les équations différentielles de l'art. 5, par l'intégration complète de ces équations, il s'agisse de résoudre le même problème, mais avec l'addition de nouvelles forces appliquées au même système, tendantes à des centres fixes ou mobiles d'une manière quelconque, et proportionnelles à des fonctions des distances aux centres. Ces nouvelles forces, qu'on peut regarder comme des forces perturbatrices du mouvement du système, étant d'une nature semblable aux forces P, Q, R, etc. , d'où dépend la fonction V, ajouteront à cette fonction une fonction analogue que nous désignerons par — Q.. De sorte qu'il n'y a qu'à mettre V — iî à la place de V, dans les équations de l'art. 10 (section précédente), et, par conséquent, Z — fi à la place de Z, dans les ternies de celles de l'art. 5, qui contiennent les différences partielles de Z relatives à §, ^j ?» etc. , pour avoir les équations du nouveau problème, lesquelles seront ainsi.

dZ di'

dz , da ,

dL ,, da ,

df''

dL ,. da ,.

r- dt ^-f-- dt,

d^ dra '

9. Si Ion suppose connues les expressions des variables §, 4» ?ï etc., tiu t et en constantes arbitraires, dans le cas oii les seconds membres de ces équations sont nuls, on peut, en conservant ces mêmes expressions, mais en rendant variables leurs constantes arbitraires, faire en sorte qu'elles satisfassent aussi à la totalité de ces équations ; et l'objet de l'analyse que nous allons exposer, est de donner les formules les plus simples pour la détermination de ces constantes devenues variables.

Nous remarquerons d'abord que, puisque ces constantes sont en nombre double de celui des variables %, 4> •?' ^^^- ' comme nous l'avons déjà observé (art. 2), et, par conséquent, en nombre double de celui des équations aux-

MÉr. anal. I Sg

3o6 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

quelles il faut satisfaire, on pourra encore les assujettir à un nombre de conditions arbitraires égal à celui de ces variables.

Les conditions les plus simples et en même temps les plus appropriées à la chose, sont que les valeurs de -^i -j-^ ~^i etc., conservent aussi la même forme que si les constantes n'y variaient point. De cette manière, non-seulement les espaces parcourus par les corps, mais encore leurs vitesses seront déterminées par des formules semblables, soit que les constantes arbitraires demeurent invariables, comme lorsqu'il n'y a point de forces perturbatrices, soit qu'elles deviennent variables par l'effet de ces forces.

Ces conditions auront de plus l'avantage de réduire au premier ordre les équations différentielles entre les nouvelles variables, de sorte qu'on aura un nombre double d'équations, mais du premier ordre seulement.

10. En employant, comme dans l'art. 4, la caractéristique S pour désigner les différentielles dues uniquement à la variation des constantes arbitraires, tandis que la caractéristique d ne se rapporte qu'aux différentielles relatives au temps t, les conditions dont nous venons de parler seront exprimées par les équations

dans lesquelles il faut remarquer que toutes les constantes arbitraires doivent devenir variables à la fois, de sorte que la caractéristique lî indiquera dans la suite la variation simultanée (*) de toutes les constantes arbitraires, au lieu que dans les formules de l'art. 4 et suivants, la même caractéristique dénotait en général les différentielles relatives à la variation de toutes les constantes, ou seulement de quelques-unes d'entre elles à volonté, ainsi que l'autre caractéristique A.

Donc, en faisant tout varier, les différentielles de ^, 4; ?"» etc., seront simplement d^, d'^, dç, etc., ou bien ^'dt, -^'dt, ip' dt, etc., comme si le temps seul variait.

Ainsi, dans les équations de l'art. 8, la fonction Z sera la même, soit que

( ) C est-à-dii'e la variation des foncrions qui rem|)lacent ces coiistanies, et (|iii , dans chaque problème, sont parfaitement déterminées , de telle sorte que leur valeur soit «ne fonction du temps dont la variaEion n'a rien d'aibitraire. (J. Bertnind. ]

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. Soj

les constantes arbitraires soient censées variables ou non ; mais en regardant ces constantes comme variables, les différences d. -j^-, à.-ry-n d. j— , i etc. ,

devront être augmentées des termes <^-;tp' ^'IV ^- ~h''' *^^^-' "^"^ ^ '** variation des constantes.

D'un autre côté, comme par l'hypothèse les fonctions de / et des constantes qui représentent les valeurs de g, 4: ?) ^^'^■■' satisfont identiquement aux mêmes équations, sans leurs seconds membres, dans le cas où ces constantes ne varient pas, quelles que soient d'ailleurs leurs valeurs, il est clair que les termes

, i^Z dï, ,. , d'L d'L ,, , dï. dT ,, d. -TT-, f^dt, d. -f—. j-p al, d- -j—, j-dt^ . . . ,

se détruiront d'eux-mêmes, et pourront, par conséquent, être etîacés.

On aura donc simplement, pour la variation des constantes arbitraires, les équations

„ dz da , . dz dû. , (, dz dii ,

o. ^^, = '■jT:dt, à.-rr7 = ^Tdt, è . -— = -j—dt, . . . ., d- dt^ d-j) d^ do aif

qu'il faudra combiner avec les équations données ci-dessus, ê^^^ o, è'^t^o, (Sip = o, etc.

Ces équations étant en nombre double de celui des variables Ç, 4^ 'P? etc., et, par conséquent, en même nombre que les constantes arbitraires (art. 2), serviront à déterminer toutes ces constantes devenues variables.

11. Les équations qu'on vient de trouver étant multipliées respectivement par A0, A-^y A(p, etc., et ensuite ajoutées ensemble, donnent

/dil , y dCl , , d£l \ j

ici A^, A^-î ^'P-> ^tc, indiquent, comme dans l'art. 4, des différentielles des fonctions ^, 4^ ?; etc. , prises en faisant varier seulement les constantes arbitraires d'une manière quelconque, soit qu'elles varient toutes en même temps, ou quelques-unes seulement à volonté.

Or, en regardant il comme une fonction de 0, 4' 'Pi ^^^■■^ on aura, en

yGoosle

3o8 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

différentiant par rapport à à, Donc on aura

Retranchons du second membre de cette équation la quantité

qui est nulle en vertu des équations de condition <î^=3io, à-{'=^o- S)p:= o, etc., on aura cette formule générale,

A.ii* = A5J.| + A4J-.^H-A,J.^+...

en changeant Z en T, comme dans l'art. 7.

On voit que le second membre de l'équation précédente est ta même fun»tion que nous avons vu devoir être indépendante du temps t (art. 7) i d'où il suit qu'après y avoir substitué les valeurs de §, 4' ?î ^'t*'-' ^" fonctions de t. et des constantes arbitraires, on pourra y faire t nul ou égal à une valeur quelconque.

12. Donc, S! l'on suppose, ce qui est toujours permis, que ces fonctions,

n ' 1 1 j dT dT dT ^ ■ ^

amsj que celles qui représentent les valeurs de -tw> -rp^ -j—,y etc., soient

développées en séries de puissances ascendantes de f, de cette manière:

yGoosle

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. Sog

dT , „,i //,,,

tjP ^^ + ^( + /^ t -\- fj. t -h....

et qu'on substitue ces valeurs dans le second membre de l'équation de Farticle précédent, on pourra y faire î =^ o, ce qui les réduira aux seuls premiers termes a, j3, 7, etc., A, ^, v, etc.

Cette équation se réduira ainsi à la forme

A.îit^ï = ia(S'A+ ^^J■f^ H- AyJn- . . .

— AAi^a — &/uS^ — ^vSy — ....

15. Les quantités «, p, y, etc., A, /-t, v, etc., ne peuvent être que fonctions des constantes arbitraires que la double intégration introduit dans les expressions finies des variables ^, 4i "P; ^^^- 1 e* l'on peut aussi les prendre pour ces liiêmes constantes.

Kn effet, les constantes arbitraires qui donnent à la solution d'un problème de Mécanique toute l'étendue qu'elle peut avoir, sont les valeurs initiales des variables, ainsi que celles de leurs différences premières, c'est-à-dire les valeurs de ^,4-, $, etc., et de -^) tJ» -^1 etc., lorsque ï^^io ; ces valeurs sont donc, dans les expressions de §, 4? ?? etc. , que nous avons adoptées, a., |5, y, etc. , «', /3', y' , etc. Or, T étant une fonction donnée de 0, 4, ?, etc. .

et de §'= ^- , 4'^^ j( ' "^'^^ ^' ^^^'^ " ^^^ ^^^^^ qu'en faisant 1^=0 dans

, c ■ 'i'^ dT dT ■ I ' . ■ >

les fonctions -7w' jïï/' j"-' ^t*^-j ^^ l'^i '^^ réduit a A, w, v, etc., ces constantes A, fx, V, etc., seront les mêmes fonctions des constantes a, 3, y, etc. a', /3', y', etc.; que les fonctions^,, ^, ^, etc., le sont des variables

f , 4' *?' ^^^- 5 ?' 4'' ?•'' e'^c. Par conséquent, au lieu de prendre immédiatement a', |3', y, etc., pour constantes arbitraires, on peut prendre celles-ci, A, f/., V, etc., qui en dépendent. Ainsi on aura a, ,5, y, etc.. A, /u, v, etc., pour les constantes arbitraires des expressions de ^, 4? 'pj etc. ; et i'on voit

3lO MÉCANIQUE AIVALYTIQUE.

que le nombre de ces constantes sera précisément double de celui des variables ^, 4^ fi etc.

De cette manière, la différentielle A.iï, dans laquelle la caractéristique à jie doit affecter que les constantes arbitraires contenues dans i'i, à raison des valeurs de ^, 4^ *?' ^^^-i qui renferment ces constantes, deviendra

tîci ^ da ^ da ^

ai dfi. dv

Kn la substituant dans le premier membre de l'équation de l'article précédent, et ordonnant les termes par rapport aux différences marquées par A, on aura

fda ' \ di

'^dt-+S«]AK^

Gomme on peut donner aux différences ia, A/S, etc., marquées par la caractéristique A, une valeur quelconque, il faudra que l'équation soit vériiiée, indépendamment de ces différences, ce qui donnera autant d'équations particulières, telles que

-— dt =^ 1^?^, -nrdt = Su, -1— dt =^ èv, . - . ,

da dp dy '

-^^ dt = — Sa, -T- dt ^^- — S'B. -~r- dt= — Sy, .... a/. ' d^ '^ dv "

14. Les différences marquées par la caractéristique S sont proprement les différentielles des constantes arbitraires devenues variables (art. 10); ainsi, (»mme ces différentielles peuvent maintenant être rapportées également au temps (, il est permis et même convenable de changer le ^en d, et l'on aura, pour la détermination des nouvelles variables a, ,3, y, etc., A, «; v, etc., les é(|uations

é5 — -.^ 'Il — ^^ ^/__^

dt J/ ' dt dy.' dt dv ' ' ' ' ^

di dii dy __ da dv __ dn

dî de-'' 'dt df dt 'dy'''''

SECONDE PARTIE. — (.A DYNAMIQUE. 3ll

qui sont, comme l'on voit, sous une forme trè,5-simple, et qui fournissent ainsi la solution la plus simple du problème de la variation des constantes arbitraires.

15. Comme la fonction il renferme les quantités a., ■^^, 7, etc. , A, ^, v, etc. , il faudra les regarder aussi comme variables dans les différences partielles de cette fonction ; mais lorsque la valeur de fl, qui dépend des forces perturbatrices, est supposée fort petite, il est clair que les variations de ces quantités seront aussi fort petites, et qu'on pourra, dans la premjère approximation, les regarder comme constantes dans les différences partielles de ih et n'avoir égard à leur variabilité que dans les approximations suivantes

Dénotons par a, b, c, etc., l, m, n, etc., les parties constantes de a, |S, y, etc., A, ^, p, etc., et par a', [3', y', etc., /, /a.', v', etc., leurs parties variables, qui, étant de l'ordre de la quantité iî, seront nécessairement trèspetites, et soit O la valeur de Ù, en y changeant «, ft, y, etc. , A, m, v, etc , en a, b, c, etc. , l, m, «, etc.

On aura ainsi

a = a-i-ac', /3 = è -h fi', 7 — e -h y', . . . ,

A =^ / -j- a', fA, = m-+- iu', V = « -h p', , . . . et l'on aura par le développement

^ dO , dO r' dO ,

^O , dO , JO , dl dm dn

Les équations différentielles de l'article précédent donneront

dO. .

car il est évident que les différences partielles relatives à x, (-j, y, etc., A, m, V, etc., peuvent être rapportées aux quantités analogues a, h, <\ etc., /, w, n, etc.

Pour la première approximation, on aura ii = O, O étant une simpk

3l2 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

fonction de t; donc on aura par l'intégration

K=j^dl, f.=J^dt, ,=J-^dt,....

MjU substituant ces valeurs dans l'expression de fi, on aura pour la seconde approximation,

do rdo , do rdo ,,

et ainsi de suite.

16. il y a ici une remarque importante à faire. Si la fonction O ne contient le temps que sous les signes de sinus et cosinus, il est clair que la valeur de il ne contiendra, dans la première approximation, que les mêmes sinus et cosinus. Mais on pourrait douter si, dans l'approximation suivante, elle ne contiendrait pas des termes où le temps t serait hors des signes de sinus et de cosinus, et qui, croissant continuellement, augmenteraient à l'infini la valeur de il, et rendraient, par conséquent, l'approximation fautive.

Pour lever ce doute, nous remarquerons que de pareils termes ne pourraient venir que d'une partie constante de iî, c'est-à-dire dégagée de tout sinus ou cosinus renfermant le t.

Soit donc A cette partie qui sera fonction des constantes arbitraires ar, ^, ■y, etc.. A, u, v, etc. Ainsi O contiendra une pareille fonction de a, h, r, etc., /, TJi, n, etc., que nous dénoterons encore par A.

En substituant A au lieu de O dans l'expression de il de l'article précédent, on aura la partie de il, due à la constante A, dans la seconde approximation , et cette partie sera

. dK dh. dK dK

dt da da dl

<Ih d K^ <ik dA dm dh db dm. "'

oii l'on voit que les termes affectés de t se détruisent mutuellement.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 'il3

Ainsi l'on est assuré que la seconde approximation ne donne dans lï aucun terme qui croisse avec le temps t; mais il resterait à voir s'il en pourrait naître dans les approximations suivantes.

Au reste, le même terme constant A pourrait donner encore dans il des termes multipliés par t, étant combiné avec des termes non constants de la même fonction lî ; mais alors le t qui se trouverait dégagé des sinus et cosinus, serait en même temps multiplié par des sinus ou cosinus d'angles proportionnels au temps. La même chose aurait lieu si le coefficient de t sous les signes de sinus et cosinus était fonction des constantes arbitraires et, jS, 7. etc., parce qu'alors les différentiations partielles de il, relatives à ces constantes, feront sortir le t hors des sinus ou cosinus. Mais on peut remarquer, en général, que lorsque les approximations successives font paraître des ternies de la forme dont il s'agit, dans lesquels des siuus ou cosinus se trouvent multipliés par l'angle qui est sous ces siuus ou cosinus, ces sortes de termes sont presque toujours le résultat du développement d'autres sinus ou cosinus, et l'on peut les éviter en intégrant directement les équations difrérentielles entre les constantes arbitraires devenues variables.

17. Quoique les constantes arbitraires que nous avons employées soient celles qui se présentent le plus naturellement, et qui donnent les résultats les plus simples, il arrive souvent que tes différentes intégrations introduisent à leur place d'autres constantes, mais qui ne peuvent être que des fonctions de celles-là.

Nous désignerons, en général, les constantes arbitraires qui sont censées entrer dans les expressions des variables ^, 4; ?i ^t*^- ; P^^" <*' ^^ ^■</> §■> ^**^- ' dont le nombre doit être également double de celui des variables; et pour avoir les relations entre ces nouvelles constantes et les premières, il suffira

de supposer ^ = o dans les valeurs des fonctions ^, 4; ?i ^t<^-' jw' -jrn ~r—/-> etc., et d'égaler les résultats aux quantités a, j^, y, etc., /, ^, v, etc.

i)e cette manière on aura autant d'équations entre ces différentes constantes, par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de a, b, c,f, g", etc., en fonctions de «, j5, 7, etc. , A, «, v, etc.

Nous supposerons donc ces fonctions connues, et la différentlation nous

Méc. annl. I. ^o

donnera

tout

suite

da , da

= Tj'''^dSi

da j da + dl'"' + Ty.

da , da ,

Donc, substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 14) de da.^ à'(j, etc. . et divisant par (/(, on aura

,u da da da da da

~ dl da^ df. d^ '^ di dy da da da da da da

de d\ rf|3 d^

dy rf.

li en est de même des valeurs de -j-) j-» etc., pour lesquelles il n'y aura qu'à changer dans l'équation précédente a en b, en c, etc.

18. Mais ces formules contiennent encore les différences partielles de il relatives aux constantes a, [5, y, etc., et il s'agit de les changer en différences partielles relatives à «, b, c, etc. , ce qui est facile par les opération:^ connues.

En efïet, comme £2 est censée maintenant fonction de a, h, c, etc. , et <\ut: ces quantités sont elles-mêmes fonctions de «, [3, y, etc. , A, ju, v, etc. , on « tout de suite, par l'algorithme des diff'érences partielles,

da da ~

da da "dS di

da db

db da ^

da *■

de da

da da

'lu df.

da db

db 'dp ^

da de de dp

et il n'y aura plus qu'à substituer ces valeurs dans celles de -^-i -^-j et<;. , de l'article précédent.

En faisant ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux différences partielles de fi, on voit d'abord que le coefficient de -t- est nul dans la valeur de -y-, que celui de -w- est nul dans la valeur de j-i eti;.

Ensuite si, pour représenter la valeur de -j-j on emploie la formule

da ,71 dil , X c?fi / p. dQ.

n auia

, , , da db da db da db

da db da db da db

dî

d^df.'

■âi

de Tu

da de

dji djj.

Et pour avoir la valeur de j- » il n'y aura qu'à changer dans ces formules

n en b et h en a, en remarquant que l'on a {b,a) ^= ~ {a^b) ; ou aura ainsi

Tu ~ ~

, ,, da

da ■2?

, db de db de "l ~ dl dcc^ dp. dfl ' db de db de dx dl d^ dji

db de ^T, dydb de dy d,'

Kn général, si k représente une quelconque des constantes arbitraires a, b, c,J', etc., et qu'on observe que la valeur des symboles représentés par deux crochets devient nulle lorsque les deux lettres renfermées entre les crochets sont identiques, et qu'elle change simplement de signe lorsqu'on change l'ordre de ces lettres, on aura ces formules générales,

dk , -, .(iïi , -, , . dit 11 1

,, , dk da dl da dk da

dk da dk da dh da du d\ d^'dji" d-^ d"v

3i6 MIÎCAKIQUE ANALYTIQUE.

19. Le prindpal usage de ces formules est dans la théorie des planètes, pour calculer l'effet de leurs perturbations, en le réduisant à la variation des constantes arbitraires qui sont les éléments du mouvement primitif. Elles sont surtout utiles pour déterminer les variations que les astronomes appelleid séculaires, parce qu'elles ont des périodes très-longues et indépendantes de celles qui ont lieu dans les variables primitives.

Comme les équations de l'art. 18 ne contiennent d'autres fonctions du temps que les différences partielles de la fonction il, si l'on elierclie par la résolution en séries, ou autrement, !a partie A de !a fonction il, qui est indépendante du temps t, et ne contient que les constantes arbitraires a, h, c, etc., il suffira de substituer, dans ces équations, A au lieu de ii, et l'oii aura directement les équations entre les quantités a, b, c, etc., devenues variables, et !e temps t, lesquelles serviront à déterminer leurs variations séculaires, parce qu'elles sont débarrassées de tout sinus ou cosinus.

§ III. — Oà l'on démontre une propriété importante de la quantité qui exprime la force vive dans un système troublé par des forces

perturbatrices .

20. Les constantes arbitraires dont nous venons de donner les variations, dépendent de la nature de chaque problème, et ne peuvent être déterminées que dans les cas particuliers. Il y en a cependant une qui a lieu, en général, pour tous les problèmes où V n'est fonction que de 5, 4' ^■' ^^^- ' "^'^^^ t^*""^ que l'intégration doit pjouter à t; car, comme les équations différentielles ne renferment alors que l'élément dt, il est clair que dans les expressions finies des variables en fonction de (, on peut toujours mettre t plus vme constante arbitraire à la place de t.

Désignons cette constante par K, et rapportons-y les diftèrences marquées par la caractéristique A dans la formule générale de l'art. H. On aura ainsi

A.. = gAK, A.5 = §AK, A.4 = âAK,....

Mais puisque 5, 4? ?>, etc. , sont fonctions de ( H~ K, il est clair qu'on aura

dK — dt

sEcoivnn