DYNAMIQUE

et de même

d^ ^^ d\\. dt "

Done

AÇ=.g'AK,

4'AK

Atp := ip'iK,

Par ia nu

f^nie

raison, on aura

dZ '-di'

^dt di

dl A -ni =

,dZ

Mais les ,

i^quations différentielles de l'art. 5 donnent

, dZ

''■■dï:

,iZ

rfZ

dt '

- jj, ' ■ • ■ ■

Donc OH

aura

. dl d'L

^3F = aï

"df-

Ainsi la formule générale de l'art. H deviendra par ces substitutions, eî après la division par AK,

(/il , ^, f dZ , i^t- dZ , ,f, /■//

;fi5A = eJ.jp + 4^.aj7 + ?"f-;

''-^5-hH-h^

df''^l"-M dZ ,,dZ ,dZ

dP"^ ~ df'

dZ r^j,/ dZ (v (/ dZ

et comme Z est censée fonction de g, 4^ ?i ^t*^- j *!* tl^ ?'j 4'; •?' ^^t*^-' "^^ aura

" rff "* ^ Jf '

(^Z [ïsjf dZ

(^Z ris,! dZ r. Il dZ I

3l8 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Donc l'équation précédente deviendra

t.. f f,, dZ , i<dZ fdZ

dont le second membre doit être une fonction des constantes arbitraires, indépendante de t.

21. En effet, si l'on chanee Z en T — V et ?', 4', <?>', etc., en ^, 4^,

J^, etc. (art. 3) , il est facile de voir que la quantité

?/ dX t, dZi I dli r-,

?!' + •+ ap + f 3? + •■•-^

sera la même chose que la quantité

li| ''? + !?<, '^4+;^ rf?+ ■■■ ~T + V,

que nous avons vue être toujours égale à une constante et qui se réduit à '1' -H V (section précédente , art. 1 4) , d'où résulte l'équation T -|- V = H , laquelle exprime la conservation des forces vives du système.

Ainsi, en prenant H pour une des constantes arbitraires, on aura pour sa variation due aux forces perturbatrices contenues dans la ibnction ii, cette formule très-simple,

c/H =^ -jj^ dt.

*l^l. On pourrait aussi arriver à cette formule par un chemin plus court. En effet, si l'on reprend les équations de l'art. 8, qu'on les ajoute ensemble après les avoir multipliées respectivement par d^, d-^, d(p, etc., et qu'on mtègre en employant les mêmes réductions que nous avons pratiquées dans l'art. 14 de la section précédente, on parviendra directement à l'équation

dans laquelle la quantité qui est sous le signe intégral n'est pas intégrable en général, parce que la fonction ii, à cause de la mobilité qu'on peut supposer aux centres des forces perturbatrices, est censée contenir, outre les variables ^, 4; 9) ^tc. , encore d'autres variables indépendantes de celles-là.

SECONDE PARTIE. — ÈA DYNAMIQUE. 3l9

Dans le cas où il n'y a point de forces jierturbatrices, on a simplement T -h V ^= H. Or il est évident qu'on peut conserver cette forme à l'intégrale qu'on vient de trouver, en rendant variable la constante H, et en faisant

mais il est visible que la quantité

n'est autre chose que la différentielle de £î, en ne faisant varier que les quantités §, 4) ?> 6^c. , qui dépendent des équations différentielles primitives, et qui sont supposées connues en fonctions de ï h- K, en nommant K, comme dans l'art. 20, la constante qui peut toujours s'ajouter à la variable t. Ainsi, comme les variables ?, ■\, tp, etc. , ne varient qu'avec le temps f , il est facile

de voir que la quantité dont il s'agit sera la même chose que -j^ dt ; par conséquent, on aura, comme plus haut, 1 équation -rr = -r^-

25. Cette équation peut donc aussi se mettre sous la forme '--y- =^ I '--j- \ -, pourvu que dans la différence partielle de iî on ne fasse varier le t qu'autant qu'il est contenu dans les expressions des variables Ç, 4-5 ?> ^^^- \ et il résuite de cette formule, que si la fonction iî ne contient le temps i que sous les signes de sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des planètes, l'expression de ( -j- | ne pourra contenir que des termes périodiques, parce que tout terme constant de fl s'en ira par la différentiation relative à t. Ainsi, dans la première approximation, oii l'on regarde comme absolument constantes, les constantes arbitraires qui entrent dans la fonction ii, l'intégrale

de I -T- ) dt, c'est-à-dire la valeur de H, ne pourra pas contenir des termes tels que Nf qui croissent avec le temps t. Nous avons vu plus haut (art. 16) que la seconde approximation ne peut donner à fi aucun terme qui ne soit périodique ; donc la même conclusion relative à la valeur de H aura lieu encore dans la seconde approximation.

3aO MECANIQUE ANALYTIQUE.

24. La quantité T exprime la force vive du système, et elle est égale à H — V. Lorsque le système n'est troublé par aucune force perturbatrice, ïa quantité H est constante, et la force vive ne dépend que des forces accélératrices contenues dans l'expression de V, comme on l'a vu dans l'ait. 34 de la sect. IIL Cette quantité devient variable quand il y a des forces perturbatrices, par conséquent la force vive sera altérée par l'action de ces forces; mais, par ce que nous venons de démontrer, on voit que ses altérations ne pourront être que périodiques, si l'expression des forces perturbatrices est périodique, du moins dans les deux premières approximations. Ce résultat est d'une grande importance dans le calcul des perturbations.