F'DX

hY

Dm +

/tZDm +

dans lesquelles on voit que les variables sont séparées, de manière qu'on peut les déterminer chacune en particulier.

La constante indéterminée k pourra donc être différente dans ces trois équations, et chacune d'elles donnera une équation du n'""^ degré pour la détermination de cette constante. On aura ainsi les formules de l'article précédent.

32. Puisqu'on a, dans le cas dont il s'agit, DA ^ o, Dr; = o, on aura l)/=Da (art. 19), et les équations de l'équilibre (art. 22) donneront F ^: S -T- D m -1- A .

Mais pour avoir la valeur de la quantité F' (art. 19), il faudra connaître la valeur de F en fonction de D/ou Da ; et l'on en déduira, par la différentiation, la valeur de F' en fonction de F.

Si, par exemple, on suppose '1» =::x K (D.ï)'", on aura F =^ K (D/)'", et, de

là, F':r=7KK(D/)"'=7«F.

Dans le cas où l'on ferait abstraction de toute force étrangère, on aurait -j— = o, ce qui donne F = A, et, par conséquent, F constante pour tous

les corps. Mais la valeur de F' pourra varier d'un corps à l'autre, à moins que l'intervalle Da entre les corps consécutifs ne soit aussi le même pour tous les corps. Dans ce dernier cas, les quantités F et F' seront deux constantes qu'on pourra déterminer à posteriori, sans connaître la loi de !a fonction '1'. Ce cas est celui d'un fil ou corde tendue, dont les deux extrémités sont fixes, et qui est chargée d'un nombre quelconque de corps placés à distances égales entre eux; la quantité F exprime alors la tension de la corde ou le poids qui peut la produire; mais, pour la quantité F', on ne peut la déduire de F sans connaître la loi de l'élasticité de la coide-

SECONDE VARTiE. — LA DYNAMIQUE. 355

Ce problème, qui est connu sous le nom àç problème des cordes -vibrantes, mérite un examen particulier, tant parce qu'il est susceptible d'une solution générale, que parce qu'il est intimement lié avec le fameux problème des vibrations des cordes sonores.

35. Nous supposerons que tous les corps Dm dont le fil est cliargé, soient égaux entre eux et sans pesanteur, et que les intervalles D/'on D« qui les séparent dans l'état d'équilibre soient aussi tous égaux.

Comme n est le nombre des corps mobiles, si l'on désigne par M la masse entière ou la somme de toutes les masses Dm, en y comprenant la dernière, qui est supposée fixe, et par / la longueur de la corde dans l'état d'équilibre, il est clair qu'on aura

Dm ^ -^ et Df = Ha = -^ ; et les trois équations en X, Y, Z de l'art. 51 deviendront

{n+iYF

IMk (,.+ i)'F

lesquelles étant semblables entre elles, il suffira de résoudre la première, et il n'y aura plus qu'à changer F' en F pour avoir aussi la résolution des deux autres.

54. Soit r l'exposant ou l'indice du rang qu'un terme quelconque X tient dans la série des X ; nous désignerons en général ce terme par X, , et le terme précédent ,X sera X,., ; ainsi la première équation sera

IMk Y , nsY

Supposons, pour résoudre cette équation,

X^ =: H sin (r(p-h e), H et e étant deux constantes arbitraires; on aura, par les formules connues

de îa multiplication des angles,

D^X,, :^ X,,.,, — aX,, + X,, = --4Hsin{rtpH-e)(sin^]",

et ces valeurs étant substituées dans l'équation précédente, elle deviendra, après la division par X,.,

laquelle donne

sjk=2{n-i- i)y/JLsin^-

Or ona (art. 24) les deux conditions à remplir X^ ^=: o et X,,^, ::^ o; la première donne e := o ; la seconde donne sin (/( +- 1 ) ip = o ; d'oii l'on tire (/( ■+- i) ip ^^ pTT, TT étant l'angle de i8o degrés, et p un nombre quelconque

entier. Donc on aura y ^=^ ^ ; par conséquent, en faisant, ce qui est

permis, H ^ i , on aura en général

X„ = sinr — £-^ —

Et l'on aura la même expression pour Y,, et pour Z,., qu'on substituera à la place de X, Y, Z, dans les expressions de g, h, 'Ç de l'art. 30.

La même valeur de cp étant substituée dans l'expression de \jk trouvée ci-dessus, donne

y^~k^i{n-v- i}i/J-sin

oii l'on peut mettre pour p tous les nombres entiers depuis o jusqu'à n inclusivement; car p ^ « -h I donne X, Y, Z nuls, et au-dessus de n -\~ r , les sinus de . ^ — r reviennent les mêmes.

Ainsi on aura autant de valeurs différentes de k qu'il y a de corps mobiles ; ce seront les racines de l'équation en /*:.

En changeant F' en F, on aura les valeurs des racines k\ et k'X des deux autres équations en /(.

On fera donc ces substitutions dans les fornuiles générales de l'art. 30, et l'on observera que la caractéristique sommatoire S doit se rapporter uni-

quement aux exposants on indices de rang r, depuis r = i jusqu'à r := «, et que la caractéristique sommatoire 2 doit se rapporter aux indices p des différentes racines depuis p = i jusqu'à p =^ n.

A l'égard de la valeur de SX^Dm ^= DmSX^, on aura, à cause de f r=: — ^- , la sommation suivante :

SX^ =^ sin^<p -t- sin'^ 21^ -H sin^Sip + . . . -i- sin^ ii(p

= {n — \ (cos 2(p4-cos4'P + cos 6(p+ . . . h- cos a«)

On aura de même SY^ = SZ^ ^:= —

55. Comme les valeurs de k sont incommensurables entre elles, la corde ne pourra jamais l'eprendre sa première position , k moins que les expressions de $, «, ^ne se réduisent à un seul terme (art. 25). Dans ce cas, en mettant dans les formules de l'article cité, pour X, Y, Z et A, les valeurs qu'on vient de trouver, et faisant, pour abréger,

'''=\/ffi' '' = \/m'

on aura ces expressions, dans lesquelles j'ai conservé l'angle (p à la place de sa valeur -~~'

^ =^ E sin r(p sin ( h't&in - H- è ) 7

i} = JL sin rtp sin ( ht sin -i + e i 1

: E sii

rtpsin (ht sin ^ h- g j ;

mais il faudra que les valeurs initiales a, ft, y, a, fi, 7, qui répondent à t = o, soient proportionnelles à sin r(p. C'est la solution connue, dans laquelle on suppose que les corps ne font que des oscillations simples et isochrones.

56. Pour avoir des expressions générales applicables à un état initial quel-

conque, il faut employer les formules de l'art. 50, en y substituant les valeurs trouvées ci-dessus (art. 54). Nous appliquerons, pour plus de clarté, aux variables ^, k, ^ l'exposant ou indice r placé au bas de ces lettres, pour marquer le rang du corps auquel elles se rapportent, et à l'égard des quantités a, [3, y, et, (3, 7, et X, Y, Z, qui sont sous le signe sommatoire S, nous emploierons l'exposant s au lieu de r, parce que cet exposant est uniquement relatif au signe S, lequel indique qu'il faut prendre la somme de tous les termes qui répondent aux valeurs de S, depuis o jusqu'à n. On aura ainsi cette formule générale :

j S«^ sin j'ipcos 3 (ft -h i)/'/(sin " j J --h h a, sni s (p ■■ ■ ■■ -■ — — — ■ \

et pour avoir les expressions de «,, et ^^, il n'y aura qu'à changer â' en h et a, a en ^, .è et en y, y.

Les variables Ç,, représentent les excursions longitudinales des corps dans la ligne droite ou axe qui passe par les deux extrémités fixes de la corde, et les variables n^, ^^ représentent leurs excursions transversales ou latérales dans la direction perpendiculaire à l'axe, les seules qu'on ait considérées jusqu'ici dans la solution du problème des cordes vibrantes.

A l'égard du signe 2, on se souviendra qu'il exprime la somme de toutes les quantités, sous ce signe, qui répondent à p = i , 2, 3, etc. , n; d'où Ton voit que les excursions de chaque corps, tant longitudinales que transversales, seront composées en général d'autant d'excursions particulières analogues à celles de différents pendules dont les longueurs seraient

qu'il y a de corps mobiles, g étant la force de la gravité.

Pour que les valeurs de ^ et /('soient réelles, il faut que les quantités F et F' soient positives {art. 55) ; donc, suivant l'hypothèse de l'art. 52, il faudra que l'exposant /n soit positif. Si les corps se repoussaient, F serait une quan-

tité négative, et il faudrait alors que l'exposant m fût aussi négatif, et que, de plus, on eût (3=^0,(3^^0, ■)':=o,7 = o, pour rendre nulles les excursions transversales jf et ^.

37. 11 y a une remarque importante à faire sur l'expression générale de ^,. que nous venons de trouver. Quoique nous ayons supposé que le nombre n. des corps mobiles est donné, et que la corde, dont la longueur est aussi donnée, est fixe par ses deux bouts, le calcul n'est pas arrêté par ces suppositions, et l'expression dont il s'agit donne la valeur de Ç,. pour tout corps placé sur la même ligne droite dont le rang serait exprimé par un nombre quelconque r entier, positif ou négatif.

En effet, puisque ce nombre r n'entre que dans le sin rip, il est visible qu'on peut lui donner telle valeur que l'on veut, et l'on voit en même temps que, comme ip = -^ — ■> ce sinus ne changera pas de valeur si l'on y met

2A (« H- I ) 4- z' à la place de r, et deviendra simplement négatif si l'on y change r en aA (« + i) — /■, A étant un nombre quelconque entier, positif ou négatif. D'où il s'ensuit qu'en imaginant, suivant l'esprit du calcul, que la corde s'étende indéfiniment de part et d'autre, et qu'elle soit chargée, dans toute sa longueur, de corps égaux et placés à distances égales entre eux , les mouvements de ces corps seront tels, qu'on aura toujours

Or il est facile de voir que la formule 2 A (« + i ) dz r peut représenter tous les nombres entiers, positifs ou négatifs, en supposant r compris entre o et n ~\- 1 ; car ayant un nombre entier quelconque, si on le divise par a («-}- i) jusqu'à ce que le reste, positif ou négatif, soit moindre que « + i , ce qui est toujours possible, et qu'on prenne A pour le quotient et ± r pour le reste, ce nombre sera représenté par 2A (« -h i) dzr. Ainsi la valeur de g, relative à un corps quelconque placé sur la même ligne, à telle distance qu'on voudra de l'origine de l'axe /, se réduira toujours à la valeur de g pour un des corps placés sur cet axe.

Gomme la relation que nous venons de trouver entre les différentes valeurs de g est générale, quel que soit le nombre i\ si l'on y met A (« + i ) H- /' à la

'36o MECANIQUE AKALYTIQUE.

place fie /', et qu'on prenne les signes inférieurs, elle devient

D OÙ il est facile de conclure que si l'on imagine toute la longueur indéfinie de la corde divisée en parties égales à Taxe / de la corde donnée, les valeurs de %, dans chacune de ces parties, seront les mêmes, à égale distance des points de division, mais de signes différents dans les parties contigues. Si donc on représente les valeurs de f pour tous les corps placés sur l'axe /, par les ordonnées des angles d'un polygone décrit sur cet axe, il n'y aura qu'à transporter ce polygone alternativement et symétriquement au-dessous et au-dessus de l'axe prolongé des deux côtés à l'infini, de manière que les côtés qui aboutissent aux points de division soient les mêmes, mais placés en sens contraire et dans la même direction ; on aura ainsi à chaque instant les valeurs de § pour tous les corps qu'on supposera distribués sur la même ligne droite prolongée à l'infini par les ordonnées des angles de ce polygone composé d'une infinité de branches. Ces valeurs seront nulles dans chaque point de division, de sorte que les corps placés dans ces points seront d'eux-mêmes immobiles; et c'est ainsi que le calcul satisfait à la condition, que les deux bouts de la corde donnée soient fixes.

Ce que nous venons de démontrer par rapport aux variables ^ a lieu également pour les différentielles -5^; car, en différentiant l'expression de ^^ par

rapport à t, on a une expression de --^ à laquelle on peut appliquer les mêmes raisonnements.

Donc les valeurs de a et de a, qui représentent celles de ^ et de-p au premier instant, et qui sont arbitraires pour tous les corps placés sur l'axe /, seront représentés par une pareille construction dans l'étendue de la corde de longueur indéfinie.

Comme les expressions des deux autres variables h et ^ ne diffèrent de celle de 5 que par les valeurs initiales /3, p et y, 7, qui sont à la place de «, a, les mêmes résultats auront lieu aussi par rapport à ces autres variables.

58. On conclura donc en général, que si une corde tendue, d'une longueur quelconque, est chargée de corps égaux et placés à distances égales

eiitie euK, et qu'ayant divisé cette corde en plusieurs parties égales, comprises chacune entre deux corps, tous les corps, à l'exception de ceux qui sont dans les points de division, soient ébranlés à la fois, de manière que l'ébranlement soit le même, mais dans un sens opposé, pour ceux qui sont à distances égales de part et d'autre de chaque point de division, les corps placés dans ces points de division demeureront immobiles d'eux-mêmes, et chaque partie de la corde aura le même mouvement que si elle était isolée, et que ses deux extrémités fussent absolument fixes.

Tl résulte de là qu'une corde tendue, de la longueur /, fixe par ses deux extrémités, et chargée d'un nombre n de corps, étant divisée en v parties égales, V étant un diviseur de n ■+■ i , si l'état initial est tel, que les coips placés dans les points de division n'aient reçu aucun ébranlement, et que ceux qui sont en deçà et en delà d'un point de division à distances égaies aient reçu des ébranlements égaux, mais en sens contraire, la corde oscillera comme si les points de division étaient fixes, et que la corde n'eût que la longueur - ■

39. La séparation des variables dans les équations en ^ , n, ^ peut encore avoir lieu sans supposer que les corps soient disposés en ligne droite dans l'état d'équilibre, mais en supposant que leurs distances mutuelles ne varient pas dans le mouvement. Nous avons remarqué dans l'art. 14 que ce cas dépend des mêmes formules générales, en y regardant la quantité 0, et, par conséquent aussi, la quantité F, comme indéterminées; et nous avons vu, dans l'art. 22, que l'on a alors l'équation de condition

laquelle fait disparaître, dans les équations générales de l'art. 21, tous les termes multipliés par G.

En n'ayant égard qu'à la pesanteur des corps, et prenant l'axe des abscisses r et a, vertical et dirigé de bas en haut, on aura -j- égale à la force accélératrice de la gravité, que nous désigneron- pnr g^ et, de plus, -jr- ^^ o,

-j- ::= o ; et les équations de l'article cité deviendront

où les variables sont séparées.

F,a valeur de F sera (art. 22}

F = y'(gSDm + A)'H-B'+C'.

Les équations en X, Y, Z deviendront donc (art. 23) AXDm + D {J^\ = o,

AYDm + D (

*ZDn

PDY\ W)

AW)

qui sont, comme l'on voit, tout à fait semblables entre elles ; de sorte qu'on pourra supposer X ::=::: Y ::= Z, parce que les constantes arbitraires par lesquelles ces quantités peuvent difterer, devant être déterminées par les mêmes conditions, deviendront aussi les mêmes. Ainsi les valeurs de ^, n, ^, données par les formules générales de l'art. 50, ne seront différentes que par les valeurs initiales a, j3, y, oc, ^, -y, qui peuvent être quelconques.

Toute la difficulté se réduit donc à trouver l'expression générale de X; mais c'est à quoi on ne saurait parvenir par les méthodes connues.

Ce cas est celui d'un fil inextensible chargé de plusieurs poids et fixement arrêté dans ses deux extrémités.

40. Lorsque le fil n'est arrête que par une de ses extrémités, que nous prendrons pour l'extrémité supérieure, le corps le plus bas devant être libre, il faudra, par l'art. 17, que la valeur de * ou de F soit nulle à l'extrémité inférieure. Or, en prenant cette extrémité pour l'origine des abscisses, que nous supposons dirigées de bas en haut, et y faisant commencer la somme

SECONDE PARTIR. — LA DYNAMlQtlE. Mî'^

SDm, la valeur de F y sera nulle, pourvu qu'on ait A :== o, B :::^ o, C ^ o. On aura ainsi F ^= gSDm.

Lomme on a, dans ce cas, -r- =^ g, -yr i^ o, -t- ^ o, les équations de

l'art. 22 donneront Da ^= D/, De ^^ o, De ^^ o, c'est-à-dire que les ordonnées b, G seront constantes; de sorte qu'on aura, pour l'état d'équilibre, une ligne droite parallèle à l'axe vertical des abscisses a. Ainsi on peut faire è = o, i; = o, en prenant pour Taxe des a la verticale qui passe par le point de suspension du fil.

Ce cas, qui est celui des oscillations très-petites d'un fil suspendu à un point fixe, et chargé d'un nombre quelconque de poids, est aussi susceptible d'une solution générale lorsque les poids sont tous égaux entre eux, et placés à distances égales les uns des autres.

41 . Dans ce dernier cas, en nommant n le nombre des corps, M la somme de leurs masses Dm, et / la longueur du fil, on a

Dm==^^ D/:=Da = ^-;

et si l'on nomme, de plus, r le nombre des corps, à commencer du plus bas jusqu'à celui auquel répondent les variables ^, «, Z,-, on aura

SDm^{r— i)Dm^ ''"~'^'^S

et, de là, on aura

L'équation en X de l'art. 59 étant multipliée par -^ deviendra, en mettant X^au lieu de X, et observant que ,X devient X^,, et X, devient X^^,,

^X,^ D [(r — i)DX,,] = o,

savoir, en exécutant les différentiations indiquées par la caractéristique D, suivant la formule de l'art. 16,

Cette équation, à cause du coefficient variable r, ne peut pas être traitée

"^(>-'i MECANIQUE ANALYTIQUE.

comme celles qui donnent les suites récurrentes ordinaires ; mais on peut en déduire successivement les valeurs de X.., X,, etc.

Pour cela, il n'y a qu'à la mettre sous cette forme, oii A ^= — ;

x, = ^-rAiii X,— '^ X..

Oe ià, en faisant successivement /■ = i , 'j., 3, etc., on aura X,= (i — /i)X,, X,, = '^-^' X, - ,;- X, == (^ I - 2/1 -^ -fj X,,

X, == (1 4A + ^ i| + -JÇ-^'j X, ,

et ainsi de suite; de sorte qu'on aura, en général,

X„„ = (■ ~ rk + ±=A/,^'i-J=At^>,^. . .)X, {•).

L'extrémité supérieure du fi! devant être fixe, on peut supposer qu'elle réponde au corps dont le rang serait n + i; ainsi il faudra que Ton ait X„^, = o, ce qui donne l'équation suivante, en remettant pour h sa valeur

laquelle sera, par rapport à k, du degré «, et donnera, par conséquent, les 11 valeurs de k, que nous désignerons en général par k .

42. Il n'y aura donc qu'à substituer, dans les formules de l'art. 50, l'expression précédente de X, à la place de X, de Y et de Z, et celle de k ' ' à la place de k, et ensuite exécuter les sommations indiquées par les signes S et 2, Mais il faut observer que dans le cas présent, où l'on suppose D^^ =^ o, De z=^ o (art. 40}, l'équation de condition de l'art 59 donne Dg ^ o, et,

e général e