PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. /j
duisant, pour une des variables indépendantes, l'angle de rotation autour de l'axe donné ; le coefficient de la différentielle de cet angle sera la somme de tous les moments relatifs à cet axe, ce qui peut être utile dans plusieurs occasions.
8. Lorsque le système peut tourner en tout sens autour du point que nous prenons pour l'origine des coordonnées, il faut considérer à la fois les rotations instantanées autour des trois axes x, y, s, et l'on aura, par rapport à chacun de ces axes, une équation semblable à celle que nous venons de trouver, et qui renferme la propriété des moments ; mais il ne sera pas inutile de résoudre le même problème par une analyse plus simple et plus générale.
Pour cela soit, comme dans l'art. S,
^^^peos(p, j:^psin(p, ,r'=: p' eos tp', j':= p' sinip', . . . ;
en faisant varier simplement les angles i?, œ', etc. , de la même différence d(p, on aura
dx ^ — ydip, dy=^.xdtp, dœ' = — y'd<p, dy' :=: x'dç, . . . .
Ce sont les variations de x', y, x' , y', etc. , dues à la rotation élémentaire d(p du système autour de l'axe des s.
On aura de même les variations de /, z, /', z' , etc. , dues à une rotation élémentaire (^4 autour de l'axe des x, en changeant simplement dans les formules précédentes x,j, x', j', etc., en j, s, j', z', etc., et dç en d-^, ce qui donnera
dy ^ — s£/4i dz^jd'^j dy' = — zV^f., dz'=:y' d"^, . . . .
En changeant dans ces dernières formules j, z,y', z', etc., respectivement en z, X', z', x', etc. , et ^4 d '^'^j on aura les variations provenant de la rotation élémentaire do) autour de l'axe des y, lesquelles seront
dz ^ — xdai, dx = zda, dz' =^ — x'dn), dx' = z' da, ....
Si donc on suppose que les trois rotations aient lieu à la fois (*), les varia-
(*) En réalité, les trois rotations ne peuvent avoir lieu à la fois, mais successivement. Il n'y a cependant aucun inconvénient à les considérer, dans le calcul, comme simultanées, car chacune
48 MECANIQUE AI^ALYTIQUE.
tions totales des coordonnées x, y\ z, x' , y' , z' , etc., seront, d'après les principes du calcul différentiel, égales aux sommes des variations partielles dues à chacune de ces rotations, de sorfie qu'on aura alors ces expressions complètes ;
dx = zdcà — yd<p, dy = xd(p — zd-^, dz ^^ yd-^ — xdco, d:c' = z' dca — y' dq>y dy' ^^ x' dip — z' d'^, dz' = y' d'^ — x' dco,
En substituant ces valeurs dans la formule générale de l'équilibre (art. 2), on aura les termes dus seulement aux rotations d'^, da, d^ autour des trois axes X, y, z, lesquels devront être séparément égaux à zéro lorsque le système a la liberté de tourner en tout sens autour du point qui fait Torigine des coordonnées.
Or on a, par la différentiation,
,lp' =
j-b)dj+[z-
-c]dz
~a')dx' +
)dz'
dp =
{x — x] [dx — dx) -+- [y — y) [dy — dy] -i- [z — z) [dz — Jzj
On aura donc, par les substitutionà dont il s'agit,
[ay — bx)di:f -h [bz — cj)d'l)-+- {ex — az)d'>i
dp.
dp-=
{ay' — b'x')di^-^ {b' z' — c'y') d'^ -+- {c'x' ~a'z'] dm
Et l'on trouvera dp ^= o, dp' =^ o, etc. , en mettant pour dx, dy, dz, etc. ,
d'elles changeant infiniment peu la position du corps , ne peut exerc
autres produisent , qu'une influence infiniment petite , et ne modifie le ii
rotations que d'une quantité infiniment petite par rapport à sa propre valeur. (/. Bertrand.)
