PREMIERE PARTIE. — LA STATIQtiE

ie.s valeurs analogues zda — J(^<?, xd<p — zd'^^ /<^4 — xdoi, etc.; d'où l'on peut tout de suite conclure que les termes Vdp, \*' dp\ etc. , de la même équation, qui résulteraient des forces intérieures du système, disparaîtront par ces substitutions.

On aura aussi dp = o, si l'on fait a^^o, b =: o, t- == o, c'est-à-dire si le centre des forces P tombe dans l'origine des coordonnées, ce qui fera aussi disparaître cette force.

9. Faisant donc abstraction des forces intérieures, s'il y en a, ainsi que de toute force qui serait dirigée vers le centre des coordonnées, on aura, en général, pour toutes les forces P, P', etc., dirigées suivant les lignes />, /)', etc., l'équation

Lc/4 -i-- M do) -hlSdçt^ o,

i faisant

Pi

'Si-

-az]

P'ib'z

et Ton aura, pour tout système libre de tourner en tout sens autour de l'origine des coordonnées, les trois équations L = o, M ^^ o, N =:; o, lesquelles répondent à celle de l'art. S, rapportée aux trois axes des coordonnées.

Car, en employant, à la place des coordonnées «, b, c, a', etc. , des centres de forces, les angles a, p, y, «', etc., que les directions de ces forces font avec les trois axes des coordonnées; et faisant par conséquent, comme dans l'art. 7 de la section précédente,

a ^^x — pcosa, b =^y — y^cos,S, * c ^=r- z — p cos')-,

et ainsi des autres quantités semblables, on a

L ^ P (jcos^ — z cosj'3) + P' (j'cosy' — s'cosp') -h . . . , Mc= P(z cos a — .rcos-y) -h P' (s' cos a' — ^'cos^') -h . ■ . , N = P(.£cosj3 — jcosa) -H P'(x'c03p' — j'cosa') -|- . . . .

yGoosle

Or, Pcosa, Peos^^, Pcos7, étant les valeurs de la force P, estimée suivant les directions des trois axes des x, j, z, on voit tout de suite que xPcosp — 7 Pcosa sont les moments relatifs à l'axe des z, le terme jP cosi< ayant le signe négatif à cause que la force P cos a tend à faire tourner le système en sens contraire de la force PcosfS. De même, sPcos« — xPcos^ seront les moments relatifs à l'axe des/, et jP cos 7 — sP cos|3, les moments relatifs à l'axe des x; et ainsi des autres expressions semblables. De sorte que les trois équations L = o, M=o, N = o expriment que la somme de ces moments est nulle par rapport à chacun des trois axes.

On voit aussi que les coefficients L, M, N des rotations instantanées d'i, dôo, d(p ne sont autre chose que les moments relatifs aux axes des rotations instantanées d-^, da, d<p (art, 7).

10. On pourrait douter si les rotations autour des trois axes des coordonnées suffisent pour représenter tous les petits mouvements qu'un système de points peut avoir autour d'un point fixe, sans que leur disposition mutuelle en soit altérée. Pour lever ce doute, nous allons chercher tous ces mouvements d'une manière plus directe.

Par le point donné, qui sert d'origine aux coordonnées x, j, s, et par un autre point du système, imaginons une ligne droite, et par cette ligne et par un troisième point du système, un plan ; rapportons à cette hgne et à ce plan les autres points du système, par de nouvelles coordonnées rectangles x\ y , z , ayant la même origine que les premières os, y, z. Il est clair que ces nouvelles coordonnées ne dépendront que de la situation mutuelle des points du système, et seront, par conséquent, constantes lorsque le système change de place, tandis que les premières varient seules par ce changement.

La théorie connue de la transformation des coordonnées donne d'abord ces relations entre les trois premières et les trois dernières :

Pr'

H-yz',

Les neuf coefficients a, [3, y, a', etc., ne dépendent que de la position respective des axes des deux systèmes de coordonnées, et doivent être tels.

PREMIERE PAliTIE. — LA STATIQUE. 31

que les coordonnées x, j, z se rapportent aux mêmes points que les coordonnées x' , y , z' , et que, par conséquent, les deux expressions

,x- -\~ j- + 3- et x''' + /'^ -H z'-

soient identiques, ce qui donne ces six équations de condition,

de sorte que parmi les neuf quantités oc, |3, y, a', etc., il en restera trois d'indéterminées.

Lorsque les axes des x' , y' , z' coïncident avec ceux des x, y, z, on a

et, par conséquent,

Ainsi, en différentiant les formules précédentes et y faisant ensuite ces substitutions, on aura le résultat d'un déplacement quelconque infiniment petit du système dans l'espace autour du point donné.

On aura d'abord, en différentiant les expressions de x, y, z dans l'hypothèse de x' , y, z' constantes, et substituant, après la différentiation, ,x-, )■, z à la place de ces quantités,

dx = xda -+-yd^ -hzdy, dy = xdix' -\- yd^' -h zdy', dz = xdc." ■+• yd[i" ■+- zdy" .

Mais les six équations de condition étant différentiées donnent, par la substitution des valeurs « =^ i , p =: o, 7 = o, etc. , trouvées ci-dessus,

da= o, d^' = o, dy" =^ o,

d^ -\- dx' = o, dy h- dà" = o, dy' -]- d[i" t= o, d'où

da' = — d^, doc" = ~ dy, d^" = — dy' .

Ces valeurs étant substituées dans les expressions de do:, dy, dz, on aura

celles-ci :

{lœ = — jda -h zdy, dy = xda! — zd9" , dz=^ — xdy -\-jdp" , qui coïncident avec celles de l'art. 8, en faisant

da = d(p^ dy ^^ da, d[i" ^^ d-],.

Ces formules des variations de x,y^ z ont donc toute la généralité que l'état de la question peut comporter ; et les trois équations L = o, M = o, N ^ o, qui résultent de l'évanouissement des termes affectés de d']., den, d<^ dans l'équation générale de l'équilibre, sont, par conséquent, les seules nécessaires pour maintenir le système en équilibre autour du point donné, abstraction faite de ce qui dépend de la disposition mutuelle des points entre eux. De sorte que, lorsque cette disposition est invariable, l'équilibre du système ne dépendra que des trois équations dont il s'agit.

D'AIembert est le premier qui ait trouvé les lois de l'équilibre de plusieurs forces appliquées à un système de points de tonne invariable, dans ses Recherches sur la Précession des équinoxes. Il y est parvenu d'une manière très-compliquée par la composition et la décomposition des forces. Depuis, elles ont été démontrées plus simplement par divers auteurs; mais nos formules ont l'avantage d'y conduire directement.

§111. — De la composition des mouvements de rotation autour de diJféreiUs axes, et des moments relatifs à ces axes.

11. Si l'on prend dans le système un point pour lequel les coordonnées X, y, z soient proportionnelles à d'^, da, dip, les différentielles correspondantes dx, dy, dz seront nulles, comme on le voit par les formules de l'art. 8. Ce point, et tous ceux qui auront la même propriété, seront donc immobiles pendant l'instant que le système décrit les trois angles d-^, dai, d^, en tournant à la fois autour des axes des x, y, z. Et il est facile de voiique tous ces points seront dans une ligne droite passant par l'origine des coordonnées (*) , et faisant avec les axes des x, y, z, des angles A, /*, v, tels

(*) F.n rappiucbant ce résultat de ceux cjiii ont été obtenus dans le paragraphe précéiient, on voit qu'un mouvement (juelconq\ie infiniment petit d'un corps solide qui a un point fixe, peut être considéré comme uoe rotation autour d'un axe. Ce beau tliéorème est dû à Euler, qui en n donné