PREMIERE PARTIE. — I.A STATIQUE
que
dé ,/(,,
d(a COS V ^ /-TT^r- — r^5 r^ •
Cette droite sera l'are instantané de la rotation composée. Kn employant les angles A, ^, v, et faisant, pour abréger,
dû = sfd-^'' H- dco'' H- (/?% on aura
(^■xj. :^ (^âcOSA, i/iS) = ^â COS^, »i(p ^= t/9 COS V,
et les expressions générales de dx, dj^ dz (art. 8) deviendront
dx^ (scos/* — jcos v) dQ,
df ^ (^ cos V — z COS a) dd,
dz t=^ (jcosA — ;ccos/a) d^.
T.e carré du petit espace parcouru par un point quelconque étant
dx^ -h dy"^ -h dz"^ , il sera exprimé par
j(scos^— /cosv)-H- (xcosv — s cos A)'' + (/cosA--.cco,s/^)'J dû' = \œ^ -hf--h z^~- (.x'cosA -hjcos^H- scos v)-] dB- ,
ît cause de
cos A^ + cos ,u^ -h cos v" = 1 .
Or il est facile de prouver que x cos A -h j cos ^ -h s cos i^ :^ o est l'équation d'un plan passant par l'origine des coordonnées, et perpendiculaire à la droite qui fait les angles A, /u., v avec les axes des .r, j, z ; donc le petit espace
une démon stiation géométrique très-simple. Eiiler avait aussi traité la question aualytiqueni«n(. royez \es, Mémoires de t' Académie de Berlin pour tijôc. Vingt-cinq ans plus tard, Kuler reprend iv théorème dans les Commentaires de' Saint-Pétfirsbourg pour i^^S, et, après en avoir donné une démonstration géométrique qui s'applique aux mouvements finis, il avoue que la preuve analytiqui' exige des calculs si prolixes, qu'il a renoncé aies exécuter. Son Mémoire se tetmme ainsi ■. Kemo » vero sEupendum hune laborem in se suscipere volet... quamobj-ein egi-egia isia piopnetas geomelris » pulcheri-imam occasionem priebere potest vires suas in ista proprietale penilus enudeanda exei'u eendi. « (Non Coinmentarii, 17^6; page 207,) Dans le lome V du Jontnai de M Iiouville, page 406, Olinde Rodrigues a donné, d'une manière très-élégante, cette démonsli itum dfsnet' \i:'f Kiileï. (/. Bertrand.)
54 MÉCANIQUE ANALYTIQUIÎ.
décrit par un point quelconque de ce plan sera
et, comme l'axe instantané de rotation est perpendiculaire à ce iiiênie plan, il s'ensuit que dÛ sera l'angle de la rotation autour de cet axe, composée des trois rotations partielles d-^, dco, d<p autour des trois axes des coordonnées.
12. Il suit de là que des rotations quelconques instantanées d-y^,, da, dç, autour de trois axes qui se coupent à angles droits dans un même point, se composent en une seule, de ^^ s/d'i'^ -\- dca^ -+- dip^ , autour d'un axe passant par le même point d'intersection^ et faisant avec ceux-là des angles A, ^, v, tels que
d-l> dfù d(B
cosA - ^ , cos^ = ^g , COS. = ^-
et, réciproquement, qu'une rotation quelconque de autour d'un axe donné, peut se décomposer en trois rotations partielles exprimées par cos AdÛ-, Gos ludB, cosvdB autour de trois axes qui se coupent perpendiculairement dans un point de l'axe donné, et qui lassent avec cet axe les angles À, ju, v, ce qui fournit un moyen bien simple de composer et de décomposer les mouvements instantanés ou les vitesses de rotation.
Ainsi, si l'on prend trois autres axes rectangulaires enti'e eux, qui fessent avec l'axe de la rotation d-^ les angles A', a", a'" ; avec l'axe de la rotation di» les angles f/.' , ^", fA,'" , et avec l'axe de la rotation dtp les angles v', v" , v'" ; la rotation (^4 pourra se résoudre en trois rotations, cos x'd'^,cosÀ"d-<l,cos a'V4 autour de ces nouveaux axes; la rotation dai se résoudra de même en trois rotations, cos/^'c/ai, cosifA."dù>, cos iU-"'d&>, et la rotation dcp en trois rotations, co&v'd^, cosv"d'p, ç.o%v"'d(p autour des mêmes axes. De sorte qu'en ajoutant ensemble les rotations autour d'un même axe, si l'on nomme (/9', d¥ , de'" '. les rotations totales autour des trois nouveaux axes, on aura
de' ^^ cosA' d-l -+- cos^' dci> -h cosv' d^, dû" = cos a" d'^ H- cos/i" da H- cos v d(f>, d9"' = cosA"'(/4 -+- co?,u!"da) +- cosv'" d^.
13. Les rotations d->l, dai, dip sont donc réduites de cette manière à trois rotations c/â', t/â", d¥' , autour de trois autres axes rectangulaires, lesquelles
yGoosle
