PREMIERE PAKTIE. — LA STATIQUE

doivent par conséquent donner, par la composition, la même rotation df^ qui résulte des rotations, d-],, dca^ d(p de sorte qu'on aura (art. Il)

dÔ' = dê'^ + dr' -+- d^"'^ = d4' -+- dù,^ + df ;

et, comme cette dernière équation doit être identique, il s'ensuit qu'on aura ces relations :

C03 a'"' h- cos a"" -h cos a'"- ^^- I ,

cos//'' -h cos^*"H-cos^"'^^^ l,

cos v'' -h cos v"" -+- cos v'"' = I ;

cos a' cosw'h- cos A^cosm"-!- cos a"^ cos,«'"= o,

cos a' cos v' ■+- cos a" cos v" -h cos ?\" cos v'" ^ o ,

coS;«'cosv' -\- cos ^"cosi'" -+- cos /-('"ces v'" ^= o,

qu'on peut aussi trouver par la Géométrie.

Par ces relations on peut avoir tout de suite les valeurs de (i'4, dù>, d<p eu dB', d^" , d^'" , en ajoutant ensemble les valeurs de t/8', d¥ , de'", multipliées successivement par cos a', cosA", cosA'", cos^', cos^w", etc. ; on trouvera de cette manière:

d4 = cos a' de' -+- cos a" dB" -+- cos A™ de'", dù> = cosf^'dQ' -h cos,«"rf8" -j- cos f^'"dô"', dip = cos v'dB' -+- cos v"d9" -h cos v"'dê"'.

14. Si l'on nomme, de plus, tt', tt", tt'" les angles que l'axe de la rotation composée dQ fait avec les axes des trois rotations partielles dS' , dQ" , de'", on aura, comme dans l'art. Il,

dô'^:^ cos Tr'dB, dQ"= cos7r"dB, dê'"= costt'" dQ;

et si, dans les expressions données ci-dessus (art. 12) de dO' , de", de'", on met pour d-^, dco, d(p leurs valeurs en d9 de l'art. Il, cos A^â, cos w'^ô, cos vdQ, la comparaison de ces différentes expressions de dO' , dS" , de'" donnera, en divisant par dQ, ces nouvelles relations :

cos tt' = cos A cos a' -I- cos m cos f/ -+- cos V cos 1' ,

cos tt" ^= cos A cos a" + cos ^ cos w" -h cos l' cos v" , cos tt" ^= cos A cos a'" -H cos ,a cos /u'" -{- cos f cos v"',

qu'on peut aussi vérifier par la Géométrie.

15. On voit par là que ces compositions et décompositions des mouveineiits de rotation sont entièrement analogues à celles des mouvements rectilignes.

En effet, si sur les trois axes des rotations (^4j "^^i '^Çi ^^^ prend, depuis leur point d'intersection, des lignes proportionnelles respectivement à t^^» da, dtp, et que l'on construise sur ces trois lignes un parallélipipède rectangle, il est facile de voir que la diagonale de ce parallélipipède sera l'axe de la rotation composée dS, et sera en même temps proportionnelle à cette rotation dS. De là, et de ce que les rotations autour d'un même axe s'ajoutent ou se retranchent suivant qu'elles sont dans le même sens ou dans des sens opposés, comme les mouvements qui ont la même direction ou des directions opposées, on doit conclure en général que la composition et la décomposition des mouvements de rotation se fait de la même manière et suit les mêmes lois que la composition ou décomposition des mouvements rectilignes, en substituant aux mouvements de rotation des mouvements rectilignes, .suivant la direction des axes de rotation.