L:^=HcosA, M = Hcos/*, N=Hcosv

et les trois moments qn'on vient de trouver se réduiront, par les relations de l'art. 14, à cette forme simple,

Hcos^t', Hcos^", HcosTr'".

Or tt', tt" , 7t"' sont les angles que les axes des rotations d^' , dQ" , dÛ'" tout avec l'axe de la rotation composée dû. Donc si l'on iàit coïncider l'axe de la rotation dQ' avec l'axe de la rotation dô, on a ■:t':= o, et tt", tt'" chacun égal à un angle droit ; par conséquent, le moment autour de cet axe sera simplement H, et les deux autres moments autour des axes perpendiculaires à celui-ci deviendront nuls.

D'oii l'on conclut que des moments égaux à L, M, N, et relatifs à

trois axes rectangulaires, se composent en un moment unique H égal h

^L*H- iVP-h N% et relatif à un axe qui fait avec ceux-là les angles A, u, v,

tels que

COS A = ïï > COS ^ := Tï ' COS f = FT •

Ce sont les théorèmes connus sur la composition des moments ; et il est évident que cette composition suit aussi les mêmes règles que celle des mouvements rectilignes. On aurait pu la déduire immédiatement de la composition des rotations instantanées, en substituant les moments aux rotations

{') Cette dénionstrai Méc. anal. I.

'")8 MÉCAMIQUP; ANALYTIQUE.

qu'ils produisent, <^ommc Varignon a substitué les forces aux mouveiiientsi

rectilignes (').

^ IV. — Propriétés de l'équilibre, relalives au centie de gravité.

18. Si, dans les formules de l'art. 9, on suppose que toutes les forces P, P , P", etc., agissent dans des directions parallèles entre elles, on aura

par conséquent, si l'on fiiit, pour abréger,

X = Vx H- V'x'~^ V":xf + . . . ,

Y ^ Pj -+- P'jr'+ P"j" H- . . . ,

les quantités Tj, M, ÎN deviendront

I, =^ Y cosT" ~ Zcosj3, M^ Zcosa — Xcos')', N = XcoS|S — Ycosa,

et les équations de l'équilibre seront L ^= o, M c= o, N = o, dont la troisième est ici une suite des deux premières. Mais, comme on a d'ailleurs l'équation cos a^ 4- cDS|S^ -h CCS 7''^^ i {sect. II, art. 7), on pourra déterminer par ces équations les angles «, j3, y, et l'on trouvera

ros S, ■=^ -y=

[') Cette assimilaHon n'est pas permise. Une force qui agit sur un eorps solide mobile iiutour il'iin axe doiiDé, produit une rotalion proportionnelle à son moment; mais, pour deux axes différents, les moments d'inertie jouent un rôle , et l'on n'a pas le droit de substituer les moments aux rotations ijii'ils produisent. Voyez, à ce sujet, un Mémoire de M. Poinsot, Mémoires de l'Institut^ tome Vil ,

)iat;e 564- (/. Bertrand.)

"(■REMIÈKE l'ARlIE. — 1,A STATIQUE. ÔÇ)

Donc la position des corps étant donnée par rapport à trois axes, il faudra , pour que tout mouvement de rotation du système soit détruit, que le système soit placé relativement à la direction des forces, de manière que cette direction fasse avec les mêmes axes les angles a, ^, y qu'on vient de déterminer.

19. Si les quantités X, Y, Z étaient nulles, les angles a, /3, y demeureraient indéterminés, et la position du système, relativement à la direction des forces, pourrait être quelconque; d'où résulte ce théorème : Si la somme des produits des forces parallèles, par leurs distances à trois plans perpendiculaires entre eux, est nulle par rapport à chacun de ces trois plans, l'effet des forces pour faire tourner le système autour du point commun d'intersection des mêmes plans se trouvera détruit.

On sait que la gravité agit verticalement et proportionnellement à la masse ; ainsi, dans un système de corps pesants, si l'on cherche un point tel, que la sonune des masses multipliées par leurs distances à un plan passant par ce point, soit nulle relativement à trois plans perpendiculaires, ce point aura la propriété que la gravité ne pourra imprimer au système aucun mouvement de rotation autour du même point. C'est ce point qu'on appelle centre de gravité, et qui est d'un usage si étendu dans toute la Mécanique.

Pour le déterminer, il n'y a qu'à chercher sa distance à trois pians perpendiculaires donnés. Or, puisque la somme des produits des masses par leurs distances à un plan passant par le centre de gravité est nulle, la somme des produits des mêmes masses par leurs distances à un autre plan parallèle à celui-ci sera nécessairement égale au produit de toutes les masses par la distance du centre de gravité au même plan; de sorte qu'on aura cette distance en divisant la somme des produits des masses et de leurs distances par la somme même des masses; et de là résultent les fonnules connues pour les centres de gravite des lignes, des surfaces et des solides.

20. Mais il y a une propriété du centre de gravité qui est moins connue, et qui peut être utile dans quelques occasions, parce qu'elle est indépendante de la considération étrangère des plans auxquels on rapporte les différents corps du système, et qu'elle sert à déterminer leur centre de gravité par la simple position respective des corps. Voici en quoi elle consiste.

6o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Soit A la somme des produits des masses prises deux à deux, et multipliées de plus par le carré de leur distance respective, cette somme étant en même temps divisée par le carré de la somme des niasses.

Soit B la somme des produits de ctiaque masse par le carré de sa distance à un point quelconque donné, cette somme étant divisée par la somme des masses.

On aura y/B — A pour la distance du centre de gravité de toutes les masses au point donné. Ainsi, comme la quantité A est indépendante de ce point, si l'on détermine les valeurs de B par rapport à trois points différents pris dans le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces trois points, et, par conséquent, sa position par rapport à ces points. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considère)' deux points, et il n'en faudrait qu'un seul si tous les corps étaient sur une ligne droite donnée.

En prenant les points donnés dans les corps mêmes du système, la position de son centre de gravité sera donnée uniquement par les masses et par leurs distances respectives. C'est en quoi consiste le principal avantage de cette manière de déterminer le centre de gravité.

Pour la démontrer, je reprends les expressions de X, Y, Z de l'art. 18, et prenant de plus trois quantités arbitraires/, g, h, je forme ces trois équations identiques, faciles à vérifier :

— PP' {X — X')' — PP" (,i: — x")'— P'P" (,/ — x'y — ...,

— pp' (j — j')' — PP" ( j — r")' — P'P" i.r' — r") — . . . ,

— pp'{z — z'y — PP" (j — z"Y — P'P" (z'— z"y — ....

Les quantités P, P', P", etc., représentent les poids ou les masses des