PREMIÈRE PARTIE. — J.A STATIQUE. 6l
corps qui leur sont proportionnelles, et les quantités .t, y, z, x\ r' , z' , œ" , etc., sont les coordonnées rectangles de ces corps. Or nous avons vu (art. S9) que lorsque l'origine des coordonnées est dans le centre de gravité, les trois quantités X, Y, Z sont nulles. Si donc on fait dans les trois équations précédentes X=:^o,Y=;o, Z^^o, qu'on les ajoute ensemble, et qu'on suppose, pour abréger,
{x — x")'-h(.r —fy^ {z — z"y={o,-iy, i^x' ~ x"y ^ {/ ~ fy + {z'-^z'Y^ (i,2)%
on aura, après avoir divisé par (P -h P'h- P" -(- . . .)',
,^p(or+p' (i)^+p "(.)-4-.-- p F[o^o^+pi'"(M^+p'p"Mr+---
p-hP'+P"-)-,.. (p^:p'+p"+...)=
Si l'on prend maintenant les trois quantités/, g, h pour les coordonnées rectangles d'un point donné, il est visible que r sera la distance de ce point au centre de gravité qui est supposé dans l'origine des coordonnées, que (o), (i), (a), etc., seront les distances des poids P, P', P", etc., à ce même point.etque (o,i), (0,2), (1,2), etc., seront les distances ejitre les corps ou poids P et P' , P et P", P' et P", etc. Donc l'équation ci-dessus deviendra
r=c=B — A, d'où l'on tire
$y. — Propriétés de l'équilibre, relatives aux maxima et minima.
21. Nous allons considérer maintenant les inaiima et minima qui peuvent avoir lieu dans l'équilibre; et, pour cela, nous reprendrons fa formule
yGoosle
b'I MÉCANIQUE A>'Al,YTlQUE.
générale
Pdp -+- Qdq -h Rdr -+-.-.= o
de l'équilibre entre les forces P, Q, R, etc., dirigées suivant les lignes p, </ r, etc., qui aboutissent aux centres de ces forces (sect. II, art. 4).
On peut supposer {*) que ces forces soient exprimées de manière que la quantité Pdp -+- Qdq -h Rdr -h . . . soit une différentielle exacte d'utie fonction dey?, q, r, etc., laquelle soit représentée par II, en sorte que l'on ait
dî\ = Pdp -h Qdq H- Kdr -+-....
Alors on aura pour l'cquiiibre cette équation dJ] =^ o, laquelle fiiit voir que le système doit être disposé de manière que la fonction H v soit, généralement parlant, un maximum ou un minimum.
Se dis généralement parlant; car on sait que l'égalité d'une différentielle à y,éro n'indique pas toujours un maximum ou un minimum, comme on le voit par la théorie des courbes.
La supposition précédente a lieu, en général, lorsque les forces P, Q, R, etc. , tendent réellement ou à des points fixes, ou à des corps du niéme système, et sont proportionnelles à des fonctions quelconques des distances ; ce qui est proprement le cas de la nature.
Ainsi, dans cette hypothèse de forces, le système sera en équilibre lorsque la fonction n sera un maximum ou un minimum; c'est en quoi consiste le principe que Maupertuis avait proposé sous le nom de loi de repos.
Dans un système de corps pesants en équilibre, les forces P, Q, K, etc., provenant de la gravité, sont, comme l'on sait, proportionnelles aux masses des corps, et, par conséquent, constantes ; et les distances/;, q, r, etc. , concourent au centre de la terre. On aura donc, dans ce cas,
Il = P/? 4- Qï -t- R'- H - . ..;
par conséquent, puisque les lignes /j, q, r, etc., sont censées parallèles, la quantité jrT^(Yi'~i>-~r~~' exprimera la distance du centre de gravité de tout
( ' ) Lagrange ne veut pas dire qu'il en soit toujours ainsi ; il prévient seulement qne les développements qui suivent se rapportent au cas où cela a lieu. (/. Bcitraiul. ]
