PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. 6,S

le système au centre de la terre; laquelle sera donc un minimum ou un maximum, lorsque le système sera en équilibre ; elle sera, par exemple, un minimum dans le cas de la chaînette, et un maximum, dans le cas de plnsieiirsi globules qui se soutiendraient en forme de voûte. Ce principe est connu depuis longtemps.

22. Si, maintenant, on considère le même système en mouvement, et quea', u" , it'" , etc., soient les vitesses, et m', tk", m'", etc., les masses respectives des différents corps qui le composent, le principe si connu de la conservation des forces 'vives, dont nous donnerons tme démonstratioîi directe et générale dans la seconde partie, fournira cette équation

Donc, puisque dans l'état d'équilibre la quantité II est un minimum, on un maximum,, il s'ensuit que la quantité m'u'^ -\- m"u"'^ -\- m"'u'"- -+- . . , . qui exprime la force vive de tout le système, sera en même temps un maximum ou minimum; ce qui donne cet autre principe de Statique, que de

toutes les situations que prend successivement le système, celle oii il a la plusgrande ou la plus petite force vive, est aussi celle oà il le faudrait placer d'abord pour qu'il restât en équilibre. Voyez les Mémoires de V Académie des Sciences de 1748 et lydg (*)■

23, On vient de voir que la fonction n est un minimum ou un maximum, lorsque la position du système est celle de l'équilibre; nous allons maintenant démontrer que si cette fonction est un minimum, l'équilibre aura de la stabilité; en sorte que le système étant d'abord supposé dans l'état d'équilibre, et venant ensuite à être tant soit peu déplacé de cet état, il tendra de lui-même à s'y remettre, en faisant des oscillations infiniment petites : qu'au contraire, dans le cas où la même fonction sera un maximum, l'équilibre n'aura pas de stabilité, et qu'étant une fois troublé, le système pourra faire des oscillations qui ne seront pas très-petites, et qui pourront l'écartei' de plus en plus de son premier état.

(') Ce priocipe y est énoncé, sans démonstraiion suffisante, par un géomètre peu connu, nomme deCourtivron. Lagrange le citait dans la première édition de son ouvrage; dans h seconde, il a faii disparaître son nom pour j substituer la date du Hénioire. (/. Bmrand.)

(i4. MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Pour démontrer cette proposition d'une manière générale, je considère que, quelle que puisse être la forme du système, sa position, c'est-à-dire celle des différents corps qui le composent, sera toujours déterminée par un certain nombre de variables, et que la quantité n sera !ine fonction donnée de ces mêmes variables. Supposons que, dans la situation d'équilibre, les variables dont il s'agit soient égales ha, h, c, etc., et que, dans une situation trèsproche de celle-ci, elles soient a-h -x, b-hy, c-h z, etc. , les quantités x, y, z, etc., étant très-petites; substituant ces dernières valeurs dans la fonction n, et réduisant en série, suivant les dimensions des quantités très-petites X, y, z, etc., la fonction n (*) deviendra de cette forme :

n = A -h Bx + Cj -h Dz H- . . .

-h Fx'' -h G xj -h H)-^ -\-Kxz-h- hyz -f- Mz' ~\- ■ ■ ■ ■

les quantités A, B, C, etc., étant données en a, b, c, etc. Mais, dans l'état d'équilibre, la valeur de f/n doit être nulle, de quelque manière qu'on fasse varier la position du système; donc il faudra que la différentielle de n soit nulle en général, lorsque x, j, z, etc. , sont égales à zéro; donc

On aura donc, pour une situation quelconque très-proche de celle de l'équilibre, cette expression de n :

n = A + F,r^ -h Gxf -h Hj' H- K.'cz -h T.js -\- M.z^ H- . . . ,

dans laquelle, tant que les variables x, j, z, etc., sont très-petites, il sufïira de tenir compte des secondes dimensions de ces variables.

'24. Maintenant il est clair que, pour que la quantité II soit un minimi/ni, lorsque x, j, s, etc., sont nulles, il taut que la fonction

F,x'^ 4-GxK4- Hj*-H-K:cz-|-L/z-l-Mz-H- , . .,

que je nommerai X, soit constamment positive, quellesque soient les valeurs des variables x, j, z, etc.

C) M. Lejeune-Diriciilet a simplifié cette démonstration en la rendant plus rigoureuse, (fojez Jiiiii-îial de Crelle, tome XXXII, et Journal de M, Liouville, tome XH, page 474-) W°"S reproduisons sa Note û ia tin du Toiunie, [J. Bertrand.)