AÇ

-'if

Kï

Donc, pour qu'elle soit toujours positive, il faudra que les coefficients /j g-, h, etc., soient positifs ; et l'on voit en même temps que, si ces coefficients sont positifs, la valeur de X sera nécessairement positive, puisque les quantités Ç, H, Ç, etc. , sont réelles lorsque les variables x, y, z, etc. , le sont.

Si, au contraire, la quantité n devait être un maximum lorsque x, y. z, etc., sont nuls, il faudrait que la fonction X ftÀt constamment négative, et, par conséquent, que les coefficients /j g", /*, etc., fussent négatifs; et, réciproquement, si ces coefficients sont négatifs, il s'ensuivra que la valeur de X sera nécessairement négative.

2o. On aura donc, en ne tenant compte que des secondes dimensions des quantités très-petites a;, /, z, etc.,

et l'équation de la conservation des forces vives (art. 22) deviendra

m'i/^ -h M" u'" -+- M'"u"" -H- . . . = const. — ?. A ~ 2/f — agn'' — -ih^'....

Or, dans l'état d'équilibre, on a (liyp.),

X ^^^ o, j ^ o, 3 ^^ o , . . . ; donc aussi

0^^o, « = o, ^1=; o, etc. (art. 19);

donc, si l'on suppose qu'on dérange le système de cet état, en Imprimant aux <;orps M', M", M'", etc., les vitesses très-petites V, V", V", etc., il faudra que l'on ait «'^^V, «"^V", u"'^=y", etc., lorsque ^^o, « = o, Ç':= o, etc. On aura donc

M'V"^M"V"'-hM"'\"''-i- ... = const. — aA;

ce qui servira à déterminer la constante arbitraire. Ainsi, l'équation précédente deviendra

M'w'^H-M"«"^+M'"ii'"=+ . . . ^M'V"^^M"V"^H-M'"V'"^-h. . . — 2/?'— igii"— aA^% ...,

d'où il est aisé de tirer ces deux conclusions ;

t". Que, dans le cas an minimum de lï, dans lequel les coefficients /i g-, A, etc., sont tous positifs, la quantité toujours positive

2/g'-|- 2g-H'-H aA^'-f- ...

devra nécessairement être moindre, ou du moins ne po^lrra pas être plus grande que la quantité donnée M'V'^ -h M" V'^ -h M'" V'"*-|- ..., qui est elle-même très-petite; par conséquent, si l'on nomme cette quantité T, on aura, pour chacune des variables ^, n, ^, etc., ces limites

entre lesquelles elles seront nécessairement renfermées; d'où il suit que, dans ce cas, le système ne pourra que s'écarter très-peu de son état d'équilibre, et ne pourra faire que des oscillations très-petites et d'une étendue déterminée .

2". Que dans le cas du maximum de 11, dans lequel les coefficients/", g-, A, etc. , sont tous négatifs, la quantité toujours positive

— 2/g^~2g-M=— -ihX; ...

pourra croître à l'infini, et qu'ainsi le système pourra s'écarter de plus eji plus de son état d'équilibre. Du moins l'équation ci-dessus fait voir que, dans ce cas, rien n'empêche que les variables g, h, ^, etc. , n'aillent toujours

IMiEMIKRE PARTIE. — LA STATIQUE. 67

en augmentant, mais il ne s'ensuit pas encore qu'elles doivent, en effet, aller en augmentant; nous démontrerons cette dernière proposition dans la sixième section de la Dynamique.

Si tous les coefficients y, g, h, etc., étaient nuls, ou sait, par les méthodes de niaximis et minimis, qu'il faudrait pour l'existence d'un minimum ou d'un maximum, que les termes de trois dimensions disparussent, et que ceux de quatre dimensions fussent constamment positifs ou négatifs; et c'est aussi de cette manière qu'on pourra juger de la stabilité de l'équilibre donné par l'évanouissement des termes de la première dimension, lorsque ceux de deux dimensions s'évanouissent en même temps.

26. Au reste, ces propriétés des maxima et minima, qui ont lieu dans l'équilibre d'un système quelconque de forces, ne sont qu'une conséquence immédiate de la démonstration que nous avons donnée du principe des vitesses virtuelles à la fin de la première section.

En effet, soilp la distance entre les deux premières moufles, Tune fixe, l'autre mobile, jointes par P cordons qui produisent une force proportiouneUe à P, et qu'on peut représenter simplement par P, en prenant le poids qui tend la corde pour l'unité; soit de même q la distance entre les deux moufles qui produisent la force Q, r la distance entre les moufles qui produisent la force R, etc. 11 est évident que P/> sera la longueur de la portion de la corde qui embrasse les deux premières moufles; pareillement, Q^, R?-, etc. , seront les longueurs des portions de la corde qui embrasse les autres moufles, de sorte que la longueur totale de la corde embrassée par les moufles fixes et mobiles sera P/? + Qç -h Rr h- . . . .

Ajoutons à cette longueur celle des différentes portions de la corde qui se trouveront entre des poulies fixes pour faire les renvois nécessaires au changement de direction, et que nous désignerons par a; ajoutons-y encore la portion de la corde qui se trouvera entre la dernière poulie de renvoi et le poids attaché à l'extrémité de la corde, et que nous désignerons par u\ enfin soit / la longueur totale de la corde, dont la première extrémité est fixement attachée à un point immobile dans l'espace, et dont l'autre extrémité porte le poids ; on aura évidemment l'équation

/ z= Py; 4- Q^ -I- Rr -I- . . . ^ « -f «,

d'où l'on tire

11 = l — a — P/3 — Qq — Rr — ....

Or, en supposant les forces P, Q, R, etc. , constantes, c'est-à-dire indépendantes de p, q, r, etc. , ce qui est toujours permis dans l'équilibre oit l'on ne considère que des déplacements infiniment petits, il est visible {*) que la quantité Pp -\- Qq -h Rr -h . . . sera la même que nous avons désignée par rj dans l'art. 21 ; ainsi on aura, en général,

où / et rt sont des quantités constantes.

27. Maintenant il est clair que, comme le poids tend à descendre le plus qu'il est possible, l'équilibre n'aura lieu, en général, que lorsque la valeur de u, qui exprime la descente du poids depuis la poulie fixe, sera un maximum, et que, par conséquent, celle de II sera un minimum; et l'on voit eu même temps que, dans ce cas, l'équilibre sera stable, parce qu'un petit changement quelconque dans la position du système ne pourra que faire remonter le poids, lequel tendra à redescendre et à remettre le système dans l'état d'équilibre.

Mais nous avons vu que pour l'équilibre, il suffit que l'on ait t/ll ^= o, et, par conséquent, du ^= o, ce qui a lieu aussi lorsque la valeur de a est un minimum, auquel cas le poids, au lieu d'être le plus bas, sera, au contraire, le plus haut. Dans ce cas, il est visible qu'un petit changement dans la position du système ne pourra que faire descendre le poids, qui alors ne tendra plus à remonter, mais à descendre davantage, et à éloigner de plus en plus le système du premier état d'équilibre; d'où il suit que cet équilibre n'aura point de stabilité, et qu'étant une fois troublé, il ne tendra pas à se rétablir.

(') Cette substitution de forces constantes à des forces variables changerait, plétemont la nature de la fonction H. Si l'on considère, par exemple, une attraction

proportionnelle à la distance et égale à —t on aurayr^Z/j == 1 - rf/> ^ (i log/) ; en remplaçani

contraire, P par une constante, on aurait pour intégrale Pp, te qui diffère beaucoup du ré précédent. On peut dire seukiueut que, pour la vaieur des variables qui correspond à l'éqiiii les deuK fonctions, quoique très-différentes, ont la même variation. (/. Bertrand.)