QUATRIÈME SECTION

MANIÈRE PLUS SIMPLE ET PLUS GÉNÉRALE DE FAIHE USAGE DE LA FORMULE DE l'équilibre, DONNÉE DAKS LA DEUXIÈME SECTION.

I. Ceux qui jusqu'à présent ont écrit sur le principe des vitesses virtuelles, se sont plutôt attachés à prouver la vérité de ce principe par la conformité de ses résultats avec ceux des principes ordinaires de la Statique, qu'à montrer l'usage qu'on en peut faire pour résoudre directement les problèmes de cette science. Nous nous sommes proposé de remplir ce dernier objet avec toute la généralité dont il est susceptible, et de déduire du principe dont il s'agit, des formules analytiques qui renferment la solution de tous les problèmes sur l'équilibre des corps, à peu près de la même manière que les formules des sous-tangentes, des rayons oscillateurs, etc. , renferment la détermination de ces lignes dans toutes les courbes.

La méthode exposée dans la deuxième section peut être employée dans tous les cas, et ne demande, comme on l'a vu, que des opérations purement analytiques; mais comme l'élimination immédiate des variables ou de leurs différences, par le moyen des équations de condition, peut conduire à des calculs trop compliqués, nous allons présenter la même méthode sous une forme plus simple, en réduisant en quelque manière tous les cas à celui d'un système entièrement libre.

g I. — Méthode des multiplicateurs.

*i. Soient L ;= o, M = o, N =:; o, etc., les différentes équations de condition données par la nature du système, les quantités L, M, N, etc., étant des fonctions finies des variables x, y, s, x' , y' , s', etc. ; en différentiant ces équations, on aura celles-ci ;

t/L ^ o, dW = 0, dN^o,. . .,

lesquelles donneront la relation qui doit avoir lieu entre le.'* différentielles des mêmes variables. En général, nous représenterons par

dh = 0, dM^o, dN:=o,..., les équations de condition entre ces différentielles, soit que ces équations

soient elles-mêmes des différences exactes ou non, pourvu que les diffëreiitietlesn'y soient que linéaires.

Maintenant, comme ces équations ne doivent servir qu'à éliminer un pareil nombre de différentielles dans la formule générale de l'équilibre, après quoi les coefficients des différentielles restantes doivent être égalés chacun à zéro, il n'est pas difficile de prouver, par la théorie de l'élimination des équations linéaires, qu'on aura les mêmes résultats si on ajoute simplement à la formule dont il s'agit les différentes équations de condition

dh ^ o, ^M = o, (/N :^ o, . . . ,

multipliées chacune par un coefficient indéterminé; qu'ensuite on égaie à zéro la somme de tous les termes qui se trouvent multipliés par une même différentielle, ce qui donnera autant d'équations particulières qu'il y a de différentielles; qu'enfin on élimine de ces dernières équations les coefficients indéterminés par lesquels on a multiplié les équations de condition.

5. De là résulte donc cette règle extrêmement simple pour trouver les conditions de l'équilibre d'un système quelconque proposé.

On prendra la somme des moments de toutes les puissances qui doivent être en équilibre (sect. II, art. 5), et l'on y ajoutera les différentes fonctions différentielles qui doivent être nulles par les conditions du problème, après avoir multiplié chacune de ces fonctions par un coefficient indéterminé; on égalera le tout à zéro, et l'on aura ainsi une équation différentielle qu'on traitera comme une équation ordinaire de maximis et minimis, et d'où l'on tirera autant d'équations particulières finies qu'il y aura de variables. Ces équations étant ensuite débarrassées, par l'élimination, des coefficients indéterminés, donneront toutes les conditions nécessaires pour l'équilibre.

L'équation différentielle dont il s'agit sera donc de cette forme,

Vdp-^i^dq->r^dr^ . . . + Aril. -^ /^t^M + i^^N -H - . . ^ o,

dans laquelle A, ^, v, etc., sont des quantités indéterminées; nous la nommerons dans la suite équation générale de l'équilibre.

Cette équation donnera, relativement à chaque coordonnée, telle que .r.