PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. Jy

ces caractéristiques se trouvent ensemble, il doit être indiffèrent dans quel ordre elles soient placées, parce qu'en supposant qu'une quantité varie de deux manières différentes, on a toujours le même résultat, quel que soit l'ordre dans lequel se font ces variations. Ainsi ^dx sera la môme chose que dS'x^ et, pareillement, S'd'^x sera la même chose que d'^x, et ainsi de suite. On pourra donc toujours changer à volonté l'ordre des caractéristiques, sans altérer la valeur des différences; et pour notre objet il sera à propos de transporter la caractéristique d avant la <?, afin que l'équation proposée ne contienne que les variations des coordonnées, et les différentielles de ces mêmes variations.

îl en est de même des signes d'intégration J ou S, par rapport à la caractéristique des variations S. Ainsi on pourra toujours changer les symboles &J ou JS en JS ou SJ".

C'est en quoi consiste le premier principe fondamental du Calcul des- •variations.

■!5. Or les différentielles dè^x, dS'r, dSz, d^Sx, etc., qui se trouvent sous le signe S, peuvent être éliminées par l'opération connue des intégrations par parties. Car, en général,

JndS'x = ilSx — f^'xdii, f£ld^Sx = nd^.v — dnS.v -+- fSxd-a,

et ainsi des autres, où il faut observer que les quantités hors du signe / se rapportent naturellement aux derniers points des intégrales, mais que pour rendre ces intégrales complètes, il faut nécessairement en retrancher les valeurs des mêmes quantités hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s'évanouisse dans ces points; ce qui est évident par la théorie des intégrations.

Ainsi en marquant par un trait les quantités qui se rapportent au commencement des intégrales totales désignées par S, et par deux traits celles qui se rapportent à la fin de ces intégrales, on aura les réductions suivantes ;

Siïd^x = a" ^x" ~ a' ^x' — SS-xda, iiiid"Sx= il" dè'x" — dSi." ^x" -— ù' dix' H- dù-'Sx' ~\-?>è'xd'^il,

So MECANIQUE ANALYTIQUE.

Jesquelles serviront à faire disparaître tontes les diftiérentiélles des variatiou.'i qui pourront se trouver sous le signe S. Ces réductions constituent le second principe fondamental du Calcul des variatiom-.

16. De cette manière donc, l'équation générale de l'équilibre se réduira à la forme suivante :

S [SSx ■+- iS)- -h M'" Js) -h A = o,

dans laquelle H, 2, t seront des fonctions de x, y, z et de leurs différentielles, et A contiendra les termes affectés des variations Sx' , J"/', Sz ., hx" , Sf", etc. , et de leurs différentielles.

Donc, pour que cette équation ait lieu, indépendamment des variations des différentes coordonnées, il faudra que l'on ait, i" S, 2, W, nuls dans toute l'étendue de l'intégrale S, c'est-à-dire dans chaque point de la masse: ■i" chaque terme de A anssi égal à zéro.

r.es équations indéfinies S ^= o, 2:^=0, W = o, donneront, en général, la relation qui doit se trouver entre les variables x, j, z ; mais il faudra pour cela eu éliminer les variables indéterminées 7\, /x, etc., lesquelles sont en même nombre que les équations de condition indéterminées

L ^^ o, M =^ o, . . . (art. 13).

Or je remarque que ces équations ne sauraient être au delà de trois (*j; car, puisque ce sont des équations indéfinies entre les trois variables x, j, zet leure différentielles, il est clair que s'il y en avait plus de trois, on aurait plus d'équations que de variables, en sorte qu'il faudrait que la quatrième fiit une suite nécessaire des trois premières, et ainsi des autres. Donc il n'y aura jamais plus de trois indéterminées A, a*, v à éliminer, en sorte qu'on pourra toujours trouver les valeurs de ces indéterminées en fonction de x, r, z- Mais les équations qui disparaîtront par ces éliminations seront remplacées par les équations mêmes de condition, de sorte qu'on pourra toujours con-

(*) Il est même impossible qu'elles soient au nombre de trois , car elles suffiraient alors à la dctermination de la position de chatjue point sans qu'il fût nécessaire de connaître les forces appliquées au

sysrème. (/. Bertrand.)