PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

naître les valeurs de x, y, z, qui doivent avoir lieu dans l'état d'équilibre de tout le système.

Au reste, les équations de condition L^^o, M = o, etc., pourraient contenir encore d'autres variables u, f, etc., avec leurs différentielles, qui devraient être éliminées par le moyen d'autres équations telles que U = o, V = o, etc. ; dans ce cas, on pourrait traiter ces nouvelles équations de condition comme celles qui sont données par la nature du problème, et prenant des coefficients indéterminés a, v, etc., il n'y aurait qu'à ajouter aux termes }\Sh -+- juSM. -f- . . . , qui sont sous le signe d'intégration dans l'équation générale de l'art. 15, les termes crSU -+- v^V h- ... ; et, après avoir fait disparaîtretontes les différentielles des variations ^ic, (S'j, Sz, ^u,Sv, etc., l'équation finale de l'art. 16 contiendra sous le signe des termes affectés des variations S'u^ Sv^ etc., qui devront, par conséquent, être égalés séparément à zéro. On aura ainsi autant de nouvelles équations que d'indéterminées (7, V, etc., par lesquelles il faudra les éliminer; ensuite on éliminera les nouvelles variables u, v^etc. , par les équations données U^o, V:^o, etc. Cette méthode sera surtout utile lorsque, dans les fonctions L, M, etc., il se trouvera des quantités intégrales ; car, en substituant à leur place de nouvelles indéterminées, on pourra faire disparaître tous les signes d'intégration, ce qui rendra le calcul plus facile.

17. A l'égard des autres équations résultantes des différents termes de la quantité A qui est hors du signe, ce ne seront que des équations particulières qui ne devront avoir lieu que par rapport à des points déterminés de la masse, et qui serviront principalement à déterminer les constantes arbitraires que les expressions de x, y, z, déduites des équations précédentes, pourront contenir. Pour faire usage de ces équations, on y substituera donc les valeurs déjà trouvées de A, f/., etc. , ensuite on en éliminera les indéterminées a, /3, etc., et l'on y joindra les équations de condition A = o, B = o, etc., qui serviront à remplacer celles que l'élimination dont il s'agit fera disparaître.

18. Quoique les termes VSp, QS'q, etc., dus aux forces accélératrices P, Q, etc. , ne demandent aucune rédaction tant que ces forces agissent suivant les lignes p, fj, etc., parce que les quantités /j, ç, etc., ne sont fonc-

Méc. anal. 1. 1 1

Sa MECANIQUE ANALYTIQUE.

lions que des variables finies x, y, z, il n'en sera pas de même lorsqu'on emploiera des forces dont l'action consistera à faire varier une fonction donnée (sect. II, art. 9) ; il faudra alors, si cette fonction contient des différentielles, employer pour ces termes les mêmes réductions que pour les termes aJL, etc., et l'on parviendra toujours à une équation finale de la même forme. Ce cas a lieu lorsqu'on considère des corps élastiques, soit solides ou fluides.

§ III. — Analogie des problèmes de ce genre avec ceux de maximis et minimis.

19. Non-seulement le calcul des variations s'applique de la même manière aux problèmes sur l'équilibre des corps continus et aux problèmes de maximis et minimis relatifs aux formules intégrales, mais il fait naître entre ces deux sortes de questions une analogie remarquable que nous allons développer.

Nous commencerons par donner une formule générale pour la variation d'une fonction différentielle quelconque à plusieurs variables.

On sait que, dans les fonctions de plusieurs variables et de leurs différentielles des ordres supérieurs au premier, on peut toujours prendre une des différentielles premières pour constante, ce qui simplifie la fonction sans rien ôter à sa généralité; mais alors, dans les différentiations par S, il faut aussi regarder comme constante la variable dont la différentielle a été supposée constante; et si l'on veut attribuer des variations à toutes les variables, il faudra rétablir la variabilité de la différentielle supposée constante.

20. Soit U une fonction de x, y, -4- y -v^ ' etc. , où dx est supposé constant ; si l'on fait, comme dans la Théorie des fouctions,

dy / dy' ,/ dy" i„

clx -^ ' dx ' (^x '""'''''' '

la quantité U deviendra fonction de x,y,j',y", etc., et la variation S\j sera, en employant la notation des différentielles partielles, de la forme

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