PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

Maintenant, en faisant tout varier, on aura

^ ' dx dx dx dx dx ^ dx

dx ■' '

„ dA$r'—r"$x) , wf àf = ,iJ ^-+f Sx

-/"Sx, Kr "= — !-W — '■ + y" Sx,

et, par conséquent,

Substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

Sy—y'Sx = Su,

Sy = Su -\-y'Sx,

\ch: '^ dy^ '^ dj'^ + dy'^ dVr. dVdSu dV d'3u

dj dy' dx dy'^ rfx'

Mais en différentiant par d la fonction U et substituant jVx pour dy, y" dx pour dy' , on a

rfU:

d'où l'on tire

JdM dV , JV „ dV „ ^\dx + 5F -^ "*" dy'^ ^ dy"^ + ■

)<te;

Donc enfin

S\} = ^d\JSx

d\J r, d\i dâu dV d^Su

dy dy' dx dy" «x'

Si la quantité U contenait une autre variable s avec ses différentielles

-4-1 -T-i ' etc. , en faisant -^ ^^ s', -A = s", et opérant de la même manière, dx dx dx ' dx '■

on trouverait les termes suivants :

rfU dSi'

d'Si

lu'

dx'

dans lesquels

^v^=^z — z' Sx

à ajouter à la valeur précédente de S\], et ainsi de suite.

*il. Donc, si on a la fonction intégrale fUdx à rendre un maximum ou un minimum, par les principes du calcul des variations, on fera

ê-.fVdx^fS{\]dxj=f{Wdx + VSdœ) ^ o.

Substituant la valeur de ^U, changeant êdx en dSx et faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences de Sx^ Su, Sv, il ne restera sous le signe que des termes de la forme

{aSx ■+■ rSu H- wSv) dx, dans lesquels

= dU-

-dV:

dlj

iâ

' dj"

riz

-ix-^

■lE'

Ces termes doivent être nuls, quelles que soient les variations Sx, Sy, èz; or, en remettant pour Su et Su leurs valeurs Sj — y' Sx, Sz — z'Sx, les termes dont il s'agit deviennent, à cause de S =; o,

[rSf -\- ^^Sz — (ïr'-h 'i'z) S.x\ dx,

d'où l'on ne tire que les deux équations ï ::= o, H^= o, la troisième, dépendante de Sx, étant contenue dans ces deux-ci.

On voit par là qu'on peut se dispenser d'attribuer aussi une variation à la variable x, dont l'élément est supposé constant dans la fonction U, puisque les équations nécessaires à la solution du problème résultent uniquement des variations des autres variables. C'est une remarque qui a été faite dès la naissance du calcul des variations et qui est une suite nécessaire de ce calcul.