PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE

Cependant il peut être utile de considérer toutes les variations à la fois, par rapport aux limites de l'intégrale, parce qu'il peut résulter de chacune d'elles des conditions particulières dans les points qui répondent à ces limites, comme nous l'avons fait voir dans la dernière leçon sur le Calcul des fonctions.

22. La fonction intégrale dont on demande le maximum ou le minimum, peut contenir aussi d'autres intégrales; mais, quelle qu'elle soit, on peut toujours la réduire à ne contenir que des variables finies avec leurs différentielles, et à dépendre d'une ou de plusieurs équations de condition entre ces mêmes variables, auxquelles on pourra toujours satisfaire par la méthode des multiplicateurs.

Supposons, par exemple, que U soit une fonction de x, y, z et de leurs différentielles, et qu'en même temps la variables dépende de l'équation de condition L = o. Cette équation étant différentiée par S donnera lî'L ^^ o ; il n'y aura donc qu'à multiplier celle-ci par un coefficient indéterminé A, ou par ?<dx, pour l'homogénéité, lorsque L est une fonction finie, ajouter l'équation intégrale (KS\.idoc ^^ o à l'équation du maximum, ou minimum S.fXJdx == o, et considérer ensuite les variations S'x, Sy, Sz comme indépendantes. Or on a, en regardant I^ comme fonction de x, j, y', y", etc. , s, s', s", etc.,

cl.x dy ■ dz dy - dz

Donc, si l'on fait les mêmes substitutions que ci-dessus pour ^y' , Sz' , Sy", etc., on aura aussi

et les termes sous le signe provenant de l'équation

S{S.Vdx-y),Shdx) = o seront de la forme

(six -h tSu + ï Je) dx,

dans lesquels on aura

~ldj dj dx \iif' df } dx' \df' dj" j ""J '

,„ rrfU JL I , (dV dL\ 1 ,, I d-0 dh\ 1 ,

Or, L = o étant l'équation de condition, on aura aussi dlj = o, ce qui donnera S = o. Ainsi, en égalant à zéro les coefficients des trois variations &x, Sf, S'z, on n'aura que les deux équations T := o, 'F = o, dont l'une servira à éliminer l'indéterminée A ; de sorte qu'il ne restera pour la solution du problème qu'une seule équation en x, y, z, qu'il faudra combiner avec l'équation donnée L = o.