PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE. 9a

154. Donc, si l'on a une fonction intégrale double SSUdxdy à rendre un maximum ou iin minimum, on aura l'équation

$.SSï]dvdf=SS>^.\Jdxdx = o.

Or, eu faisant tout varier, on a S .V dxdy = SU dxdy -h \JS .cLrdy, où il tiuit remarquer que dxdy représentant un rectanfçle qui est l'élément du plan des •r, j, ce rectangle demeurera rectangle après les variations Sx, Sj des coordonnées X, y, dans la supposition adoptée que S'x ne dépende point de j, ni Sjdex; de sorte que la variation de dxdy sera simplement dj Sdx -\~ dr, Sdy; donc, comme

Sdx =: dSx = —,— dx, Sdy = Sdy = ^-~ dy,

puisque Sx et Sy sont censées fonctions de x seul et de r seul, on aura

S.Uéx:dy = [SV-^\J^ + V'^']dxdy.

Substituant la valeur de ^U, et faisant disparaître, par des intégrations partielles, les différentielles des variations J"^, Sy, Su, il restera sous le double SS les termes

{â.Sx -h rSy + T^m) dxdy, dans lesquels

dx )

\dxdy)

-l-{dj-

réger,

dV ,y, d\

■lu:---

96 MECANIQUE ANALXTIQIIE.

et supposant que les différentielles partielles renfermées entre deux crochets représentent les valeurs complètes de ces différences , en y regardant z comme fonction dex,y.

53. Ainsi, à cause de êu= Sz — -j- S'œ f-dr, les termes sons le

dx dj ^ ^

double signe donneront simplement l'équation

>i' ('.jj

nz ts dz r

- -j- àX ï-Ô

dx dj ■

d'où, en égalant séparément à zéro les coefficients de Sz, Sx, Sj, on n'aura que l'équation ^:^o, comme si l'on n'avait iàit varier que la seule variable z.

On voit donc que, dans les questions de maximis et minimis relatives is des intégrales doubles, dans lesquelles une des trois variables est fonction des deux autres, il n'y a rigoureusement qu'une seule équation qu'on peut trouver directement, en ne faisant varier par S que la seule variable qui est censée fonction des deux autres {*) ; et cette équation est celle de la surface qui satisfait à la question. C'est ainsi qu'on a trouvé l'équation aux différences partielles de la moindre surface, en faisant U :^^ \/[i -h (s')" H- (s,)^] ; et ce que nous venons de démontrer prouve que cette équation remplit complètement les conditions du problème, quelques variations qu'on attribue ans trois coordonnées de la surface.

36. On peut appliquer les formules des variations que nous venons de trouver, à l'équation, d'un système superficiel de particules dm tirées par de;; forces quelconques.

En n'ayant égard qu'à la condition de l'invariabilité de dm, on aura d'abord, comme dans l'art. 2o, l'équation générale de l'équilibre

SS {h'Iidm + hê>dm) = o.

('} Il est éviden! à priori qu'il sufiit de faire varier i; car, quelles que soient deux surfaces infiniluent voisines, on peut toujours passer de l'une à l'autre en donnant à z un accroissement qui dépende d'une manière convenable des deux antres coordonnées x et j. Il pourra être plus ou moins commode de considérer celles-ci comme ayant ou n'ayant pas la môme valeur aux points correspondants , mais il est évidemment permis de faire l'une ou l'autre hypothèse. (/. Bertrand. )