PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE
Ici, la valeur de dm sera de la forme Vdxdy, et l'on aura, par conséquent
(art. 54),
Sdm =. (^i^U + U ^ + U ~^-^) dxdy-
Substituant cette valeur, ainsi que celle de <îU de l'art. 55, dans la torinule intégrale SSAS^m, et faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences des variations Sx, fy^ Su, il ne restera sous le double signe que les termes
(E^,x -+- rSy + 'i'ôu)dxdy,
•> lesquels
-Kf)-
da
\dxij- j
V dx' J
en conservant les valeurs de U', U,, U", U' , etc. , de l'art. 54.
Ajoutons à ces termes ceux qui proviennent de l'intégrale SSoIlf^n savoir, en substituant les valeurs de Slï et Sm,
l'dn , dîi ,
-'^?.^\vdxdy,
^tx—'-^fy {art. 53) ; l'équation
et remettons pour Sm sa valeur Ss
générale de l'équilibre contiendra, sous le double signe SS, les termes suivants, ordonnés par rapport aux variations S^, ^f,
,, dz]
1 tire les trois équations
fin TT
dz
La dernière donne W = — X) -^j et cette valeur étant substituée dans les deux autres, on a, après avoir divisé par U,
dU. dU. ^ /^\
dx dz dy \ dx } '
dw du dz rdi\ dj- dz dj V 4" / ~ '
La première donne A ^ n -h fbnct. y ; la seconde donne h = U -h fonct. x : donc on aura A ^=: n + a, a étant une constante. Substituant eette valeur dans l'équation générale de l'équilibre, elle deviendra
savoir,
^.SSn(/m H- aiT.SSf/m ^= o,
équation du maximum ou minimum de la formule intégrale SSn(/m, parmi toutes celles dans lesquelles la valeur de la formule SS(/m est la même.
Ainsi voilà le problème de Mécanique (*) réduit à une simple question de maximis et ininim.is, dont la solution ne dépend que de la variation de la seule coordonnée z, qui est supposée fonction de x, y (art. 3S).
On pourra étendre cette théorie aux formules intégrales triples, et en déduire des conclusions semblables
(*) Dans un système sniieificiel de paiticde», ou, en d'autres termes, dans une surface flexible, non-seuîement les éléments superficiels testent invariables, mais aussi les éléments linéaires; il en résulte, comme M. Gauss 1 a kit voit, que le pioduit des rayons de courbure conserve en chaque ])oint une valeur constante Lagrange laissp de côté ces eouditions, et les équations qu'il obtient ne peuvent pas être regardées, pa: conséquent, comme la traduction exacte du problème, Voyez un Mémoire de M, Gauss, Commeniairei de Gottingue, tome VI; ce Mécnoire a été réimprinié à la suite de la cinquième édition de 1 1 Gi ometne anah tique de Monge. (/. Bertrand. )
