PREMIERE PARTIE. LA STATIQDE. 10l

et surtout lorsqu'il s'agit de trouver les résultats d'une infinité de forces qui agissent sur un même point, comme l'attraction d'un corps de figure quelconque.

9. Soit m la masse d'un corps dont chacun des éléments dm soit regardé comme le centre d'une force P proportionnelle à <^m et à une fonction^ de la distance^ ; en faisant JJpdp ^= Fp, l'élément dm donnera, dans l'expression de E, le terme ■■ 'j - -- dm, dont l'intégrale relative à toute la masse m sera le résultat de l'attraction de cette masse ; et comme cette intégration est indépendante de la différentiation relative à ^, on pourra donner à l'intégrale dont il s'agit la forme -^ ,f "\ de sorte qu'en faisant

S.Fpdm = 1, on aura

d'i^ d<^ df

et il ne s'agira plus que de substituer au lieu de p, dans la fonction Fjj, sa valeur exprimée en fonction des coordonnées qui déterminent la position de chaque particule dm. dans l'espace, et des coordonnées g, 4» ? *i" point attiré, et d'exécuter ensuite séparément l'intégration relative aux premières, et les difFérentiations relatives aux dernières.

Dans le cas de la nature, on a/p = ~ ; donc F/? = , et, par conséquent, 2 = — S

Soient a, b, c les coordonnées de chaque particule dm du corps, on aura, en supposant la densité de cette particule exprimée par r fonction de a, b, c,

dm ^= Tdadbdc; donc

Or, X, j, s étant les coordonnées du point attiré, on a (art. 1)

Mi'c. anal. I

Io6 MECANIQUE ANALYTIQUE.

Donc

^ V dadbdc

10. Le cas le plus simple est celui où le corps attirant est une sphère. Dans ce cas, en faisant r = i , et supposant le centre de la sphère dans l'orî gine des coordonnées x,j, z du point attiré, on a

m étant la solidité de la sphère, qu'on sait être égale à ^ a% en prenant a pour le rayon, et tt pour le rapport de la circonférence au diamètre.

Si la densité r était variable dans l'intérieur de la sphère, en la supposant fonction de a, on ferait m = -^- Srd.tx^.

On peut encore avoir la valeur de 2 lorsque le corps attirant est un sphéroïde elliptique, dont la surface est représentée par t' équation

A, B, C étant les demi-axes des trois sections principales, et a, b, c les coordonnées rectangles de la surface, prises sur les trois axes, et ayant leur origine dans l'intersection commune des axes qui est le centre du sphéroïde. Mais l'expression générale de cette valeur dépend d'une formule intégrale assez compliquée, et par laquelle il est impossible d'avoir 2 en fonction de -r, y, z.

Cependant si l'on suppose que le sphéroïde soit peu différent de la sphère, ou que la distance du point attiré au centre du sphéroïde soit fort grande par rapport à ses axes, on peut exprimer la valeur générale de 1 par une série convergente délivrée de toute intégration. M. Laplace a donné, dans sa Théorie des attractions des sphéroïdes ("), une très-belle formule par laquelle on peut former successivement tous les termes de la série, et qui montre en même temps que la valeur de — ) m étant la solidité du sphéroïde,

(') Voyez Mécanique ci-lesta, lome II , livre m, chapitre premier. (/. Bertrand.)

PRKMiERt; PARTIE. LA STATIQUE. 107

ne dépend que des quantités B^ — A^ et C^ — A% qui sont les carrés des excentricités des deux sections qui passent par le même demi-axe A.

J'ai trouvé qu'en partant de ce résultat et faisant usage du théorème que j'ai donné dans les Mémoires de Berlin de i 793-93, on pouvait construire tout d'un coup ia série dont il s'agit, par le seul développement du radical

sjx'-Çy^- ^ z"- — ■>-by — ■>- cz + />^ + c" '

suivant les puissances de b et c, en ne conservant que les termes qui contiennent des puissances paires de h et c, et transformant chacun de ces termes, comme H&^"'c^", en

m étant la solidité du sphéroïde qui est exprimée par ~ ABC.

Ainsi, pour avoir tout de suite la série ordonnée suivant les puissances de y et z, on fera

r =z yjx"^ + r^ + z' ,

et on développera d'abord le radical [r' — zby — 2 <?2 -[- 6' -H c^ ) % suivant les puissances âe y, z; en ne retenant que les puissances paires, on aura

On développera ensuite les radicaux (r^-hè^ + c^) % etc., suivant les puissances de è^, c"% et l'on transformera ces puissances en puissances de B^ — A% C^ — A^ par la formule donnée ci-dessus. De cette manière, si l'on fait, pour plus de simplicité,

B^— A^zr^e-, VJ^k^^i\ € et i étant les excentricités des deux ellipses formées par les sections qui passent par les demi-ases A, B et A, C, on aura pour 2 une expression en série de cette forme :

— m (R H- Ty' -^ Vz^ + X.r' 4- Yj^ z^ -^ Zs' + . . . ) ,

yGoosle

dans laquelle

On n'a poussé l'approximation que jusqu'aux quatrièmes diniensions de e et de i; mais il est facile de la porter aussi loin qu'on voudra.

Si le sphéroïde était composé de couches elliptiques de différentes densités, alors en faisant varier dans l'expression de 2 les quantités A, 13, C, et par conséquent aussi e et i, on aurait SrdX pour la valeur de 2 relative à ce sphéroïde.

Ayant ainsi la valeur de 2 en fonction des coordonnées rectangles .r, j', r.

du point attiré, on aura immédiatement, par la dilférentiation, les forces -.- , -7- 1 -j- suivant ces coordonnées, dues à l'attraction totale du sphéroïde,

rfjf dz ' •■

Et si au lieu des coordonnées x, y et z, on prend le rayon r avec deux angles a* et v, tels que l'on ait

x=^r cos,u, y = /' sin fj. smv, z = r sin ^ cose,

on aura l'attraction du sphéroïde décomposée, dans le sens du rayon r qui joint le point attiré et le centre du sphéroïde, perpendiculairement à ce rayon dans le plan qui passe par le demi-axe A, et perpendiculairement au même rayon dans un plan parallèle à celui qui passe par les demi-axes B et C, par les trois différentielles partielles

cΠd^ dl.

dr rdu. rsm^.d'j

Ces formules sont surtout utiles dans la théorie de la figure de la terre.

l'REMlEGE PARTIE. — LA STATIQUE.

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