PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. iSj
deviendrait
I ( X.dm — d. -j- M/? j 0.T -h (Ydm — '^- ^ — "? ) V
( Z(/m — d. -j — \~ juj^z
et l'on aurait immédiatement ces trois équations indéfmiei
%dm ■ — d. —j ■ f^p ^= o,
Y<^m — d. ~~ — uq = o,
Z dm — d . '-J— -
, par l'élimination de fz, redonneront les mêmes équations déjà trouvées (art. 58). Mais ces dernières ont de plus l'avantage de faire connaître en même temps la pression que chaque élément du fil exerce sur ia surface, d'après la théorie donnée dans l'art. 5 de la sect. W . En efFet, il est facile de déduire de cette théorie que les termes
^(Sz — pZx — çSj),
provenant de l'équation de condition
Zz — plx — qZj =^ o,
peuvent représenter l'effet d'une force égale à /ia. ^ {i -\- p^ -h q-), et appliquée à chaque élément ds du fil dans une direction perpendiculaire à la surface qui a pour équation
Ss — po.x — çâj ^ o, ou bien dz — pdx — qdy ■= o,
c'est-à-dire à la surface même sur laquelle le fil est supposé couché. Cette surface, par sa résistance, produit la force /u. \J i -{-- p^ -h q'' , laquelle sera, par conséquent, égale et directement contraire à la pression exercée par le fil sur la même surface (art. 7, sect. IV). De sorte que la pression de chaque
point du fil sera égale à ^\-...-^ — ^l, ou bien, en substituant les valeurs
Méc. anal. I, 18
l38 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
de fx^ !J.p, uq tirées des équations ci-dessus,
On appliquera ensuite les mêmes raisonnements à la partie de l'équation générale qui est hors du signe S, et l'on en tirera des conclusions analogues.
41 . Si le fil couché sur la surface donnée n'était tendu que par des forces appliquées à ses extrémités, on aurait X :r:^ o, Y :^ o, Z = o, et, par conséquent, d?\ = o (art. 50) ; donc A est égal à une constante : ainsi la tension du fil serait partout la même (art. 51), ce qui s'accorde avec ce qu'on sait d'ailleurs. Dans ce cas, la formule générale de l'équilibre du fil se réduirait à
AS8ds + S^(S3 — pèx — q^x) = o,
dont le premier terme est la même chose que A^.Sds ou aSj. Ainsi cette équation exprime que la longueur de la courbe formée par le fil sur la surface représentée par l'équation dz — pdx — qdy ^= o doit être un maximum ou un minimum; et la pression exercée par le fil sur chaque point de cette surface sera alors
ds
Or on sait que \/i^--£-) H~ {'^•%) "^ i^^'T') t^'^P^nis l'angle de contingence de la courbe, lequel est égal à —, en nommant p le rayon osculateur. Ainsi la pression sera ^ - , et, par conséquent, en raison inverse du rayon oscillateur.
^ II. — De l'équilibre d'un fil, ou d'une surface flexible et en même temps extensible et contractible.
42. Jusqu'ici nous avons supposé que le fil était inextensible ; regardons-le maintenant comme un ressort capable d'extension et de contraction, et soit F la force avec laquelle chaque élément ds de la courbe du fil tend à se cort-
