PREMIÈRE PARTIE, — LA STATIQUE. iSg

tracter; on aura, comme dans l'art. 18 (en mettant ds à\a place de/, et en changeant d en S), F^ds pour le moment de cette force, et S¥èds pour la somme des moments de toutes les forces de contraction qui agissent sur toute la longueur du fil. On ajoutera donc cette intégrale SVêds à l'intégrale S(XS^ H- Y^y -h Zoz)dm, qui exprime la somme des moments de toutes les forces extérieures qui agissent sur le fil (art. 28), et égalant le tout à zéro, on aura l'équation générale de l'équilibre du fil à ressort.

Or il est visible que cette équation sera de la même forme que celle de l'art. 29 pour le cas d'un fil inextensible, et qu'en y changeant F en A, les deux équations deviendront identiques. On aura donc, dans le cas présent, les mêmes équations particulières pour l'équilibre du fil qu'on a trouvées dans l'art. 50, en mettant seulement dans celle-ci F à la place de A; et si l'on éhmine la quantité F, comme on a éhminé la quantité A, on aura, pour la courbe formée par un fil extensible, deux équations qui seront identiquement les mêmes que celles qui ont lieu pour un fil inextensible.

45. A l'égard de la quantité F qui représente l'élasticité ou la force de contraction de chaque élément ds, 'û est naturel de l'exprimer par une fonction de l'extension que cet élément subit par l'action des forces X, Y, Z. Ainsi, en supposant que da- soit la longueur primitive de ds, on pourra regarder F comme une fonction donnée de j-; mais comme par la nature du calcul différentiel la valeur absolue des éléments ds demeure indéterminée, la valeur de F sera aussi indéterminée, et ne pourra être connue que par le moyen d'une des trois équations de l'équilibre du fil. Ainsi, quoique dans le cas présent notre analyse paraisse donner une équation de trop, elle ne domie néanmoins que les équations nécessaires pour déterminer la courbe du fil et la résistance de chacun de ses éléments.

Puisque la quantité A de la solution de l'art. 50 répond exactement à la quantité F qui exprime la force réelle avec laquelle chaque élément du (il est tendu par l'action des forces extérieures, il s'ensuit qu'on peut aussi regarder cette quantité A comme représentant la tension dn fil inextensible. C'est ce que nous avons déjà trouvé à priori dans l'art. 51 .

44. Appliquons les mêmes principes à la détermination de l'équilibre d'une surface doJît tous les éléments dm soient extensibles et contractibles.

l4o MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

]j' élément d'une surface dont les coordonnées sont x, y, z, et où l'on regarde s comme fonction de x, y, est exprimé par la formule

rfxrfj\/7^j)'+(|y.

Ainsi, en appelant F (*) la force d'élasticité avec laquelle cet élément tend à se contracter, la somme des moments de toutes ces forces sera exprimée par l'intégrale double

ssFS.&4r\/VT-(£)"+(|)'-

qui, étant ajoutée à l'intégrale double

SS(Xâx + Yâ/ -+- 'I8z)dm,

où dm est l'élément de la surface, donnera la somme des moments de toutes les forces, laquelle doit être nulle dans l'équilibre. En faisant, connue dans l'art. 51 de la sect. IV,

S = ^' dr = ^" "^ V' + ^ +^,- = U, on aura

dn\ :=z \J dxdy, et -r-, ^:= ^, ■> -j- ^^ y\ >

donc (art. 55, 34, sect. IV)

,.Ud.dy=[W^u{^^f)]d.dy.

Substituant ces valeurs dans l'intégrale double i^SF^.Vdxdy, et faisant dis-

(') Cette manière d'évaluer l'ensemble des forces que développe l'élasticité sur un point n'est pas suffisamment justifiée. Il est vrai qu'ici, comme dans plusieurs passages précédeiils, Lagrange détourne le mot force de sa signification habituelle ; mais il n'est nullement évident que la somme des moments des forces qui agissent sur un élément soit proportionnelle à la contraction de l'élément. Nous pouvons même ajouter que cela n'est pas exact. Poisson en a fait la remarque dans les Mémoiri^s dil'Jnstiua pour l'année 1812; du reste, la solution qu'il donne manque elle-même de généralité, elle suppose les tensions d'un élément rectangulaire perpendiculaires aux côtés de cet élément, ce qui n'a pas lieu, en général. (/. Bertrand.)