PREMIÈRE PARTIE. — I.A STATIQUE. I 5l

générale de l'équilibre, à la place du terme SiXdès, celui-ci ^¥d^s, c'est-àdire simplement F à la place de A, en nommant F la force d'élasticité qui résiste à l'extension du fil (art. 42). Mais il faudrait de plus, dans ce cas, regarder ds comme variable dans l'expression de Se; par conséquent, il faudrait ajouter à la valeur de Se de l'art. 47, ces deux termes :

ds eds^

On aurait donc à ajouter à la valeur de SESe du même article les termes

— S j- Sds — S ^ , ; ■ ^d^s.

Le dernier se réduit d'abord à

TTT-iTi- dùs -\ — i^-TT dus + Sd. — j-^ .àds:

e as e as o as '

donc il faudra ajouter à la valeur de SE(î"e les termes

E a^S 1 t\ a t,a s I r- / L-' I 1 Ed s E(;\ p ,

iTTurdàs -\ rn^dàs -+- S d. — ^-r ,- àds.

e"ds"' ■ e ds^ \ eds^ ds j

Le dernier terme de cette expression étant analogue au terme '^Sds, sera susceptible de réductions semblables; à l'égard des deux autres, il n'y aura

,, , . ,r, , dxdâx-^-dydèy+dzdàz qu a y substituer, pour dès, sa valeur - — ^"^""""" — ' *^" marquant

toutes les lettres d'un trait ou de deux.

De là il est facile de conclure qu'on aura, pour la solution du cas présent, les mêmes formules que dans le cas où le fil élastique est supposé inextensible, en y mettant seulement F -f- t;?. — -j-j- — -T-à la place de A, et ajoutant

aux termes hors du siene S les deux termes ■ '' ■ . ■■ j ,; dSs' rm^dS's".

Comme dans l'équation de la courbe la quantité A doit être éliminée, il s'ensuit que l'équation de la lame élastique sera la même, soit qu'on la suppose extensible ou non. Mais la tension du fil qui est exprimée par A ou par F, lorsque le fil n'est pas élastique (art. 45) , sera augmentée, par l'élasticité E, de la quantité d. -A-.^ , à cause de e = — (art. 49).

l5li MECANIQUE ANALYTIQUE.

§ IV. — De l'équilibre d'un fil roide et défigure donnée.

35. Venons enfin au cas d'nn fil inextensible et inflexible: on aura icipour la somme des moments des forces, la même formule intégrale que danh le cas de l'art. 28, c'est-k-dire ?>{X.Sx ->t-YS'y -{- TjS'z)dw,; ensuite, la conditiou de l'inextensibilité du fil donnera, comme dans le même article, Sds^^o: et celle de l'inflexibilité donnera Se = o, puisque l'angle de contingence doit être invariable ; mais ces deux conditions ne sufîisent pas encore dans le cas oii la courbe est à double courbure, comme on va le voir.

Pour traiter la question de la manière la plus simple et la plus directe, je remarque que tout consiste à faire en sorte que les différents points de la courbe du fit conservent toujours entre eux les mêmes distances : or, en considérant plusieurs points successifs, dont les coordonnées soient

,r, }■■, z, x-hdx, j-\-dj, z -+- dz, x -\- idx -^ d^x, r H- 2rfv H- d^y, z H- idz -H d'^z, etc.,

il est clair que les carrés des distances entre le premier de ces points et les suivants seront exprimés par les quantités

rlx'+df'

+ dz',

, (aJa;

'+(a<ij

idz

Çidx + id'x + d'x]

-|-3rf

, etc.

Supposons

, pom

abréger,

dx^ d'x' d\y:'

+ dx' ■+d'f -4- d'y'

-^ dz' - '^d'z'-- '+d'z'.

les quantités précédentes étant développées, deviendrom a, 4«-|- ^da-\-Çi, 9a -h <^d(x -4-9/3-1- 3((^^a — 2(3) -t- 3f/f3 -h 7,