PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. I
I] faudra donc que les variations de ces quantités soient nulles dans tonte l'étendue de la courbe, ce qui donnera ces équations indéfinies :
^Sa-\~ -iSda -+- ^(-i. ^= o,
9<î-a -+- gSda + 3:^e + 3Sd-a -+- $Sdfi -^Sy = o,
mais oa étant égal à o, on a aussi
(/Sa = Srf« :^= o; donc 53 = o; de là on aura, de plus,
d^Sa ^ St?^« =^ o, (/â|'3 ^^ ^d^ = o ; donc Ôy = o;
et ainsi de suite. De sorte que les équations de condition pour l'inextensibilité et l'inflexibilité du fil seront S« =^o, ^^ = o, ^y = o, etc. (*), c'est-
(") Ces équations expriment que a, p, 7 conservent la même valeur pendant le dépii courbe. Cette condition équivaut aux trois équations suivantes;
(î)'-(iy-(sy-..
\ds=
I,a première est évidente ; la deuxième exprime que la courbure de k ligne considérée est une fonction déterminée de l'arc j; ia troisième, enfin, combinée avec les deux autres, exprime que la seconde coui'bure est une fonction déterminée de s. En écrivant les équations de condition sous cette forme , qui ne diffère de celle de Lagrange que par les diviseurs ds^, ds', ds", que nous avons introduits, les calculs resteraient absolument les mêmes; seulement, les multiplicateurs désignés plus loin par 1, (*, v seraient finis, tandis qu'il faut, dans la notation de Lagrange, leur supposer des valeurs infinies de différents ordres. Cette circonstance a été signalée comme un inconvénient de la méthode. En adoptant, en effet, la location si souvent employée par Lagrange, les multiplicateurs 1, p, u représenteraient les forces qui tendent à faire varier les fonctions a , f(, 7, et il doit sembler extraordinaire que ces forces soient infinies, et surtout qu'une transformation tout algébrique suffise pour leur faire prendre des valeurs finies; mais on se rend compte de celte singularité en remarquant que les coefficients l, ^,v ne sont nommés ^ircfij que pai- une locution figurée, familière à Lagrange. Sous avons averti plusieurs fois qu'il ne fallait pas prendre cette locution à la lettre. ( Foyez la note relative au paragraphe 9, sect. IL) (/. Bertrand.)
Mér. anal. I. 20
à-dire en différentiant et changeant ^d en dS,
dxdlx -h dfdBy -+- dzd^z =r o, d^xd'^Zx H- d'^yd'^Zy -Jr d^zd^Bz = o, d^xd^^x-]- d^yd^Bf-h d^zd^Zz = o.
Il est clair qu'il suffit de trois de ces équations pour déterminer les trois variations Sx, Zy, Zz; d'où l'on peut d'abord conclure que, dès qu'on aura satisfait aux trois premières, toutes les autres, qu'on pourrait trouver à l'infini, auront lieu d'elles-mêmes: c'est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul même, comme on le verra plus bas (art. 60) .
54. On aura donc par notre méthode cette équation générale de l'équi-
libre ,
- dydZy -\- dzdoz)
o ^ S {XZx -h YSj -h ZSz)dm + S?^{dxdZx -
-h Siu.{d^xd^Sx -+- d^yd^Zy -h d^zd^Bz) -+- Sv [d^xd^Zx -+- d^yd'^Zy -hd^zd^Zz), laquelle, par les transformations enseignées, se réduira à la forme suivante :
o ^=^ S[X(/m — d.{7<dx) H- d^. (jud^x) — d\ {vd'^x)]8x -+^S[Ydm~d.{Ady)^d\{f^dy) — d\{vdy)]By H- S[Zdm — d.{xdz) -H a^^ {//.d^z) — d\{vd^z)]Zz -\- [?\"dx" — d. [fA."d^x") + d^. [v"d''x")'\ tx" ■+- [f^"d''x" — d . {v" d^ x") dZx" -j- v"d'x"jd^Zx" -+- [h"dy" — d. {fA."dy) -+- d'.{v"dy")\ Zy"
- d.{v"d''y")dZy" -\~v"d^y"\d'^Zy" -d.{pl' d^z") + d^ . [v" d'' z")\Zz"
" — d. [v"d^z")dZz" -+- v"d^z" \d^Bz"
- d. {fx'd^x') -h d'^.{v'd^x')'\Zx'
- d. [v'd^x')dZx' — v'd^x''\d^Zx'
- d. [fA.'dy) + d\{v'd'y')] zy
-d.{v'dy)dZy'-v'dy]d^Zy'
- d.(ju'd'z') -h d^. [/d^z')]Zz' ■■ d.{v'd^z')dZz' — v'd^z']d^Zz'.
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