PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE, I
5S. Égalant d'abord à zéro les coefficients de Sx, S/, Ss sous le signe S, on aura ces trois équations indéfinies,
X^m — d.{xdx) H- d^ . [/j.d- x) — d" .[vd;'x) :=^ o, Y dm— d. {hdy) -H rf^ [i^d^j) — d'.{vd^y) = o, 7jdm — d.{'hdz) -h d\{jud^z) — d'' .{vd^ z) =^ o,
lesquelles renfermant trois variables indéterminées A, /^, v, ne serviront qu'à détenniner ces trois quantités ; en sorte qu'il n'y aura aucune équation indéfinie entre les différentes forces X, Y, Z qu'on suppose appliquées à tous les points de la verge; et les conditions de l'équilibre dépendront uniquement des termes qui sont hors du signe S. Mais comme ces termes contiennent les inconnues A, ^, v, il faudra commencer par déterminer ces inconnues.
Pour cela, il faut intégrer les équations précédentes, ce qui est facile, et l'on aura ces trois-ci :
J\dm — Kdx~\- d.{^d^x) — d' . [vd'x) = A, JYdm — hdy H- d. {ud^y) ~ d-. {vdy) ^ B, fTidm — A(/s -\~ d. [/ud^ z) — d^. {vd' z) = C,
A, B, G étant trois constantes arbitraires.
Ces équations donnent, par l'élimination de A, ces trois autres-ci :
dyJUdra — dxJYdm -h dyd.{f^d^x) — dx:d. [jud'y]
— dyd-, (vd^x) -h drd^.{vd^y) =: Ady — Bdx, dzf\dm — dxfZdm -h dzd.[/j.d'^x] — dxd.[fA.d'^z)
— dzd^.{vd^x) -h dxd^.{vd^z) =Adz — Gdx, dzJ'Ydm — dyJ'Zdm -+- dzd.{fA,d^y) — dyd.{f^d^z)
— dzd"" . [v d" y) -(- dyd'^vd^'z) =■ Bdz — Gdy,
lesquelles sont aussi intégrables, et dont les intégrales sont yj'lLdm — xJYdm — ^/(Xy — Yx)dm H- f/.[dyd^x — dxd^y) — dyd. (vd^x) -\- dxd. [vd'y) -h v{d^yd'x — d^xd^y) = Aj — B,x' -\- F,
l56 MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
zfXdm -xJ7.dn-i—J{Xz — Zx)dm ■ + ju{dzd^x — dxd^ z) — ■ dzd.{yd^x) H- dxd.(yfPz) H- v{d^zd^x — d'^xd'z) =^ kz — C^'H- G, zJYdm —xf7.dm—f{Yz^7.j)dm •+- /iA,{dzd^j — dyd^z) — dzd. {vd^j) -f- dyd. [vd^z) -\- v{d'^zd^j — d^fd^z) ^Bz — Gj ■+- H, F, G, H étant de nouvelles constantes arbitraires.
Ces trois dernières équations serviront à déterminer les trois quantités ,u, V et dv; et les trois premières équations intégrales donneront les valeurs de ?i, dju, d'^v. Ainsi on aura toutes les inconnues qui entrent dans les termes qui sont hors du signe S; il suffira pour cela de marquer dans les six équations qu'on vient de trouver toutes les lettres d'un trait, ou de deux, à l'exception des constantes arbitraires, de supposer nulles, dans le premier cas, les quantités affectées du signe J, lesquelles sont censées commencer au premier point du fil, et de changer, dans le second cas, /" en S dans les jnêuies quantités, pour les rapporter au dernier point du fil.
56. Cela posé, voyons maintenant les conditions qui peuvent résulter de r anéantissement des termes hors du signe S dans l'équation générale de l'équilibre (art. S4).
Et d'abord si l'on suppose la verge entièrement libre, les variations êx', Sj', Ss', dix', dZy', dZz , d^x' , d^y' , d^Zz' , et Zx" , S/', W, dSx", etc., seront toutes indéterminées; par conséquent, il faudra égaler à zéro chacun de leurs coefficients, et il est visible qu'il faudra pour cela que les quantités A', ^', v' , dju', dv' , d^v' , ainsi que a", ju." , v" , du'\ dv" , d'v", soient nulles.
Donc les trois premières équations intégrales de l'article précédent étant rapportées au premier et au dernier point du fil, donneront eessïx conditions,
o ==. A, o :.^ B, o — C, SXdm = A, SYdm = B, SZf/m = C; et les trois dernières intégrales donneront de même les six suivantes :
o =-- Af' — B,c'h- F, o:^Az'^Cx'-i-G, o^Bs' — Cj'-^H,
yGoosle
