PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

des intégrations par parties, on aura

èW = VSp -+- QSq -hïiSr^ ... -^ S {n^dp — d^^p -h SQdq — dQ^g + SRdr — dKSr ^ ...),

OÙ les termes qui sont hors du signe S se rapportent aux extrémités de l'intégrale représentée par ce signe, et répondent, par conséquent, aux bouts du canal; de sorte qu'en supposant ces bouts fixes, les variations S^n, Sg, Sr, etc., qui y répondent, seront nulles, et les termes dont il s'agit s'évanouiront d'eux-mêmes.

Maintenant, comme les quantités P, Q, R, etc. , qui représentent les forces, sont ou peuvent toujours être supposées des fonctions de /?, q, r, etc., il est clair que la partie de ^Y qui est alFectce du signe S n'est plus susceptible de réduction; donc, pour que l'on ait en généra! S^^^o, il faudra que cette partie soit nulle d'elle-même, et que, par conséquent, l'on ait pour chaque point de la masse fluide l'équation identique

SVdp — dV^p + SQdq — dQS'q -+- SRdr — dRSr -\- ... ^o.

Kn regardant les expressions des forces P, Q, R, etc., comme des fonctions quelconques de p, q, r, etc. , on aura, suivant la notation reçue, „-, dp , dV , dP ,

de même

jsT, rfPf dp,. , «iPj, , ^^^df^P + J^^I+J-r^'-^----

et ainsi des autres différences. Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme :

- dgîp)

- drSp) -drSq)

et devra avoir lieu indépendamment des différences dp, dq, dr., etc.; tT/?, hq^ Sr, etc.

Donc, s'il n'y a aucune relation donnée entre les variables /j, q, r, etc.,

Méc. anal. I. ^3

îy8 MÉCANIQUE ANALYTIQUE-

il faudra faire séparément

dV __ >IQ^ dq dp '

dO d-w

dv dq

V.e, sont les équations de condition connues pour l'intégrabilité de la Ibrimiîe

Vdp^Çldq-^Kdr^ ....

9. Lorsque les lignes /?, q, r, etc., se rapportent à un point dans l'espace, comme dans le cas présent, elles ne peuvent dépendre que des trois coordonnées de ce point, et les forces P, Q, R, etc., peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordonnées (sect. V, art. 7). Ainsi, en prenant p, q, r pour ces coordonnées, soit rectangles ou non {*), et P, Q, R, etc., pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il faudra que les quantités P, Q, R, regardées comme des fonctions de p, q, r, satisfassent à ces trois équations,

dP dO dP dR dO dl\

dq dp dr dp dr dq

Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces P, Q, R, qui agissent sur tous ces points.

Au reste, on a fait abstraction jusqu'ici de la densité du fluide, ou plutôt on l'a regardée comme constante et égale à l'unité; mais si l'on voulait la supposer variable, alors, en nommant r la densité d'une particule quelconque dm, on aurait (art. 1) dm ^^ Tads; et les quantités P, Q, R, etc., se trouveraient toutes multipliées par r. Ainsi l'on aura pour l'équilibre des fluides de densité variable, les mêmes lois que pour l'équilibre des fluides de densité uniforme, en multipliant seulement les différentes forces par la densité du point sur lequel elles agissent, c'est-à-dire en écrivant simplement rP, rQ, rR, etc., àla place de P, Q, R, etc.

(*) Cette assertion n'est pas exacte. Si P, Q, E désignaient les composantes parallèles à trois axes obliques, et p, q, r les coordonnées relatives à ces axes, la somiDe des moments virtuels ne serait pas Vdp -i-Qilq + Rili; et les raisonnements qui précédent ne pourraient pas s'appliquer.

[J. Eerirniid.)

J'IiEMlERE PARTIE. — LA STATIQUE. i ^y

^ II. — Oh l'on déduit hs lois générales de l'équilibre des fluide.'; incojnpressihtes, de la nature des particules qui les composent.

10. Nous allons maintenant chercher les lois de l'équilibre des tiuides incompressibles, directement par notre formule générale, en regardant ces sortes de fluides comme formés d'un amas de particules mobiles en tout sens, et qui peuvent changer de figure, mais sans changer de volume.

Supposons, pour plus de simplicité, que toutes les forces qui agissent sur les particules du fluide soient réduites à trois, représentées par X, Y, Z, et dirigées suivant les coordonnées rectangles x,j, s, c'est-à-dire tendantes È» diminuer ces coordonnées. Nous avons donné, dans le chap. I de la sect. V, les formules générales de cette réduction.

Nommant dm. la masse d'une particule quelconque, on aura, pour \a somme des moments des forces X, Y, Z, la formule intégrale

^{xsx-^yhy + z^z)dm;

or le volume de la particule ^m peut être représenté par i^iCf^c^s; ainsi, fn exprimant par r la densité, il est clair qu'on aura dm^^ Tdxdydz; et le signe d'intégration S appartiendra à la fois aux trois variables a;, f, z.

Il faudra, de plus, avoir égard à l'équation de condition résultante de l'incompressibilité du fluide, laquelle étant supposée représentée parL = o, donnera, en différentiant selon ^, multipliant par un coefficient indéterminé 7\, et intégrant, la fommle SxSL a ajouter à la précédente.

S'il n'y a point de forces extérieures qui agissent sur la surface du fluide, ni de conditions particulières à cette surface, on aura simplement, poni' l'équation générale de l'équilibre (sect. iV, art. 15),

S {XS-x -^YSy + ZJ^s) dm -h Sa^TL ^^ o, dans laquelle il faudra prendre les intégrales relativement à toute la masse du fluide.

11. La condition de l'incompressibilité consiste en ce que le volume de chaque particule soit invariable ; ainsi, ayant exprimé ce volume par dxdydz, on aura dxdydz — const. pour l'équation de coîidition; par conséquent,

L sera = dxdydz — const. , et ^L = S. {dxdydz).

yGoosle

lOO MFXANIQUE ANALYTIQUE.

Pour avoir la variation S. [dxdydz]-, il semble qu'il n'y aurait qu'à difïerentier simplement dxdydz selon tT; mais il y a ici une considération particulière à faire, et sans laquelle le calcul ne serait pas rigoureux. La quantité dxdydz n'exprime le volume d'une particule qu'autant qu'on suppose la ligure de cette particule un parallélipipède rectangulaire dont les côtés sont parallèles aux axes des x,y, z; cette supposition est très-permise, puisqu'on peut imaginer le fluide partagé en éléments infiniment petits d'une figuie quelconque. Or, (T. ((^■(fy'^^) doit exprimer la variation que souffre ce volume lorsque la particule change infiniment peu de situation, ses coordonnées x, y, z devenant x -\- Sx,y -\- S'y, z-h S'z; et il est clair que si dans ce changement la particule conservait la figure d'un parallélipipède rectangle, on aurait

^. {dxdydz) ^= dydzS'dx -h dxdzSdy -\- dxdySdz.

Par les principes du calcul des variations, on peut changer les Sdx^ S'dy, odz en dèx, dSy, dSz ; mais il est nécessaire de remarquer que les variations Sx, Sy, Sz pouvant être regardées comme des fonctions indéterminées et infiniment petites, diex,y, z, pour que (/i^^ représente la variation du côté dx de la particule rectangulaire didydz, lequel est formé par l'accroissement dx que la coordonnée x reçoit, tandis que les deux autres, y et z, ne varient pas, il faut que dans la difïerentiation de Sx, la seule x soit censée variable : ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d'écrire simplement dSx,

il faudra écrire -j— d^\ de même, et par un raisonnement semblable, on

écrira -^(^ et --^ — dz aulieudec/c^f^, dSz. De cette manière, dansl'hypothèse que la particule dxdydz demeure rectangulaire après la variation, on aura

s. (dxdydz) = dxdydz (^ + ^ + ^) ■

Jl en serait encore de même si l'on supposait que la particule dxdydz devînt, par la variation, un parallélipipède dont les angles différassent infiniment peu de l'angle droit; car on sait, par la Géométrie, que, si a, &, c sont les trois côtés d'un parallélipipède qui forment un angle solide, et a, (3, 7 les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélipipède, est exprimée par la formule

aèc y (1 — cos«^ — cosi^' — cos^^-h u cos c( cos f; cos 7) .