COLONNES LIQUIDES OSCILLANTES

tÈB, Oseillations de l'eau dans les tubes. — Indépendamment des mouvements oscillatoires de masse, comme ceux que nous venons d'étudier, les oscillations dans les tubes ou tuyaux présentent un grand nombre de particularités intéressantes dont il peut être utile de signaler les principales. L'étude de ces oscillations a été faite, surtout expérimentalement, par M. de Caligny, et l'on trouvera dans ses deux volumes d'hydraulique de très nombreuses expériences dans lesquelles la force vive du liquide en mouvement est transformée

§ o. — GOLOxNNES LIQUIDES OSCILLANTES. 449

de la matiière la plus ingénieuse, pour produire des effets variés.

La première, la plus simple et on pourrait dire Texpérience fondamentale consiste en ceci. Si dans un tube en U (Bg. 103)

placé comme un siphon renversé, rona.dansTunedesdeuxbranches, ^ de Teau à un niveau A supérieur à

Ad- M

1^ celui B auquel elle est maintenue dans la seconde et si on abandonne

A'hl A— -^B Ye liquide à lui-même, le niveau A

s'abaissera et le niveau B se relèvera, mais ni l'un ni l'autre ne ^ s'arrêteront lorsqu'ils auront at-

Fig. 103. teint le niveau d'équilibre MN. En

vertu de la vitesse acquise alors par le liquide, le mouvement se continuera, et si les frottements sont négligeables, le niveau B remontera en B' et le niveau A s'abaissera en A', à des distances du niveau MN égales mais de sens contraire à celles où ils se trouvaient au commencement du mouvement. Puis le mouvement inverse se produira, et ainsi de suite. Les frottements seuls empêchent cet effet de se produire indéfiniment et diminuent chaque fois l'amplitude de l'oscillation.

Rien n'est plus simple que l'explication théorique de ce fait et le calcul de la durée théorique de l'oscillation. Soit 2h la dénivellation primitive, 2x cette dénivellation à une époque t quelconque, w la section transversale du tube, supposée constante et L la longueur ACDB de la colonne oscillante; la force accélératrice à l'époque t considérée sera en valeur absolue IIo>.2a:.Sî l'on compte les x positifs, à partir du niveau MN vers le bas, dans la branche AA', de manière qu'à l'origine du mouvement l'on ait a; = — h, la force accélératrice sera positive lorsque x sera négatif et inversement ; on devra donc, pour mettre en évidence json signe réel, l'affecter du signe — .

Alors, toute la masse - cdL étant animée de la même accéléra-

GHAP. VIII. — MOUVEMENTS ONDULAÎOlhES.

lion — , on aura pour l'équation du mouvement:

ricD. 2x= - o)L — 1 g dl*

OU bîen^ en supprimant le facteur commun Uiù :

dont rintégrale, particularisée pour exprimer qu'à l'époque ^ = 0 la vitesse est nulle ei x = — A, est :

x = — h cos y Y ^

C'est bien l'équation d'un mouvement oscillatoire pendulaire dont la période, ouïe temps qui s*écoule entre les instants où le niveau parti de A revient à sa position primitive, est :

cette période dépend de L et nullement de la dénivellation primitive 2A.

Un résultat analogue s'obtiendrait si le tube CD (fig. 104), qui met en communication les deux tubes verticaux, était d'un diamètre différent de ceux-ci. La durée de l'oscillation serait seule modifiée.

Fig. 104.

Si nous appelions alors Û Paire de la section horizontale de chacun des bassins verticaux, H la hauteur du niveau d'équilibre MN au-dessus du tube CD, L et co la longueur et la section transversale de ce tube, V la vitesse à un instant quel-

g 5. — Colonnes liquides oscillantes. 451

conque dans les bassins verticaux, u la vitesse au même instant dans le tube horizontal, nous aurons ii = -V.

Appliquons le théorème des forces vives à un déplacement inFmimenl petit dx du niveau dans les deux bassins, pendant lequel la force motrice égale alors à nû.2x a produit un travail llQ.2xdœ, auquel correspond un accroissement de

force vive égal, d'une part,à - 2ûH.VrfV et d'autre part k-tùudu.

Remarquons d'ailleurs que si x et dx \sont de même signe, V et dV sont de signes contraires, ou inversement. Nous écrirons donc Téquation :

— UQ2xdx = - Û . 2HVrfV + - tùLudu.

Mettons pour u et du leurs valeurs en V et dV, il viendra :

î (e + ^^ \d\ + xdx = 0.

D'où, en intégrant et remarquant que V=0 poura: = A:

La même équation, différentiée par rapport à ^,donne, puis-

., dx queV=-:

en posant pour abréger :

elle devient :

identique à celle que nous avons trouvée plus haut, sauf que la longueur * est remplacée par X. La durée de Toscillation totale sera alors :

Cela suppose toujours que Ton néglige les frottements et aussi que les vitesses de tous les points, dans les bassins AA' et BB' sont, à une époque donnée, égales entre elles.

Bien que celte hypothèse soit assez éloignée de la réalité, elle donne cependant des résultats d'une approximation suffisante.

èl7. Coloancs liquides oscillantes pour le remplis • •Bi^e ou la vidaug^e des sas des éeluses. — L'emploi de colonnes liquides oscillantes, analogues à celles qui viennent d'être étudiées, a été proposée pour économiser l'eau consommée dans les écluses de navigation pour le passage des bateaux. Si les deux bassins verticaux, AA', BB' de la figure précédente représentent deux sas d'écluse accolés ou bien un sas et un bassin d'épargne de même section horizontale, le mouvement alternatif fera passer l'eau du sas dans le bassin ou inversement, et il suffira d'arrêter ce mouvement après la première demi-oscillation pour économiser entièrement toute Teau des éclusées. Mais cela supposerait que les frottements sont négligables et que la force vive de l'eau qui descend est utilisée tout entière pour remplir le bassin où le niveau s'élève. Il n'en est pas ainsi et on peut se rendre compte facilement que les pertes de force vive susceptibles d'être évaluées ne sont pas négligeables, sans compter celles dont l'évaluation est impossible ^

Les pertes de charge se composent d'abord de celle qui est due à l'entrée de l'eau dans le conduit CD, égale, d'après

1 ti> ce qui a été dit plus haut (n^ 43), à - — ; puis de celle qui pro-

vient de Tépanouissement dans le second bassin de la veine

liquide sortant de CD, égale à — ; et enfin du frottement dans

ce conduit CD. Si l'on appelle ^ son périmètre mouillé etôi le

i. Cette question a été traitée d'abord par M. de Lagrené, dans son Cours de navigation intérieure, tome III, pages 135 et suivantes; puis par M. Flamant, dans les AntialeS des ponts et chaussées (1881, 1^' semestre» page 81)*

§ 5. - GOLOxNNES LIQUIDES OSCILLANTES. 4S3

coefficient relatif à la nature de ses parois, ce frottement sera exprimé par L - b^u^ et la perte de charge totale, si on la désigne par ^, sera ainsi :

ou bien, en exprimant u en fonction de V et appelant k^ pour abréger, le coefficient constant :

Cette perte de charge correspondra donc à un travail négatif nû^cir, pour un déplacement dx de la surface libre de section û, et si nous ajoutons ce terme à Téquation du mouvement écrite dans le numéro précédent, elle deviendra :

— mïixdx — nû^cte= 2 û . 2HVrfV + " (oLwcfz/.

ou bien, en divisant par IIÛ et mettant pour Ç sa valeur cidessus :

OU encore, eu égard à la signification de ce que nous avons

appelé \ :

VrfV Y*

\ h xdx + A: -~ rfx = 0.

Si Ton faity=--, cette équation prend la forme simple :

et son intégrale générale, en appelant C une constante, est ;

Qoo^^

454 CHAP. Vin. — MOUVEMENTS ONDULATOIRES.

Et si Ton détermine la constante de manière que pour ar = — h la vitesse V soit nulle, ou y = 0, on trouvera, en définitive :

dx On pourrait, en remplaçant V par — , trouver la loi du mou-

vement, ou exprimer x en fonction du temps, mais cela ne présente qu'un médiocre intérêt. Ce qui importe davantage, c'est de savoir de combien les résistances passives que Ton a évaluées diminueront Tamplitude de la première oscillation. Or, à la fin de cette première oscillation, lavitesse-V s'annule, il faut donc, pour trouver la hauteur à laquelle s'abaissera le niveau A, ou s'élèvera le niveau B par rapport au niveau d'équilibre, chercher la valeur de x pour laquelle V s'annule, ou bien résoudre l'équalion :

qui peut s'écrire :

yix^h)

En appliquant cette équation à un exemple donné par M. de Lagrené et pour lequel on avait :

j'ai trouvé pour x' la valeur a:':=0™,76, soit A— aj'==0,44. L'amplitude de l'oscillation serait donc diminuée de {f^^iK au moins, car bien des causes de perte de force vive restent, qui n'ont pas été comprises dans l'évaluation précédente. On devrait donc compter sur une réduction d'environ deux cinquièmes, et l'on n'économiserait, en réalité, que les trois cinquièmes du volume de l'éclusée au lieu de la totalité.