PO

ment de température, mais ce changement rend disponible un travail R(To — T|) de sorte que le travail extérieur total W sera:

W = /^V«+R(To-TO=(j+r)(To-TO==^'(To-TO;

ce que l'on peut écrire, eu égard aux relations qui viennent d'être trouvées :

Une production de travail extérieur sera donc accompagnée d'une diminution de température, et inversement une augmentation de température accompagnera la consommation d'un travail extérieur.

986. Tranurormation i«othepiiiiqae on isodynami* que. — Un gaz peut au contraire passer d'un état à un autre en conservant la même température, sa transformation est dite dXor^^isothermiqiie, L'équation ;?t;=:RT, lorsque la température T est constante, donne pv = const. et les hyperboles équilatères représentées par cette équation sont des lignes isoiher^ miques. Il est facile de reconnaître qu*une transformation isothermique est nécessairement accompagnée de gain ou de

Qoo^^

perte de chaleur et de production ou de consommation de travail mécanique. Si Ton reprend en effet l'équation générale

dQ=c(n+Apdv, el si Ton y suppose T constant, ou ûTT = 0, elle se réduit à :

rfQ = Apdv ; ou bien, en y mettant pour p sa valeur déduite de pv= RT :

rfQ = ART~.

Et si Ton intègre entre les limites marquées par les états extrêmes, définis comme tout à l'heure parpo» %^^^Pu ^u ^^ quantité de chaleur qui devra être fournie au gaz, pour qu*il passe du volume v^ au volume Vi en restant à la température constante T, sera :

Q = ART r~ARTLog.^.

quantité qui ne peut être nulle si r, est différent de v^. Comme d'ailleurs, on a, la température T étant constante :

PoVo =/?iV, = RT, celte quantité peut s'exprimer comme il suit :

Q = ApoVo Log. ^^= ApiV, Log.?-' •

Le travail extérieur / pdv a pour expression, en le représentant encore par W :

(5) W = / pdv = pov^ Log. 7 = PiV^ Log. ^ •

D'après ce que nous avons admis, la température du gaz étant constante, son énergie interne reste la même ; c'est pourquoi la transformation isothermique et la ligue qui la représente portent le nom de transformation et de ligne isodynami-

ques. La coïncidence de la ligne isodynamique avec la ligne isolhermique n'a lieu que pour les gaz parfaits. Dans les autres fluides naturels^ et en particulier dans les vapeurs, la température n'est pas la seule mesure de Ténergie interne, et les deux lignes ne coïncident pas.

•SU. ValeuFfi numériques des eoeffieientii. — Voici, résumées dans un petit tableau, les valeurs numériques des coefficients qui figurent dans les formules précédentes et qui ne sont pas les mêmes pour les différents gaz.

Noms des gaz.

Air atmosphérique

Azote

Oxygène

Hydrogène

Acide carbonique

Gaz d'éclairage (en moyenne).

Poids da mètre cube

ik293 i 256 4 430 0 0896 i 977 0 530

Volume d'un kilogramn

Oinc7841it 0 796 0 699 44 460 0 506 4 887

Le poids du mètre cube et le volume d*un kilogramme sont pris à la température zéro et sous la pression atmosphérique de 760 millimètres de mercure. Il est rappelé que les coefficients h, A qui figurent aussi dans les formules ont la même valeur pour tous les gaz^ soit : 1

fc = 4,44, A =0,00235

ou •- = 426.

Les unités sont le kilogramme par mètre carré pour les pressions, le kilogramme pour les poids et le mètre cube pour les volumes. Dans ces conditions la pression d'une atmosphère est représentée par 40334 kilogr. par mètre carré, c'est-à-dire par le nombre 40334. Chaque millimètre de mercure correspond, à très peu près, à une pression de 43 k. 6 par mèlre carré. Il est bien évident que si, dans une formule, les pressions figu-

Qoo^^

rcnt simplement par leur rapport -, le choix de l'unité im-

porte peu, pourvu que cette unité soit la même pour les deux ; elles peuvent être toutes deux, par exemple, exprimées en millimètres de mercure. L'unité indiquée doit être conservée dans les formules où les pressions figurent isolément, par exemple dans celle po ^o = RTq.ou dans les autres analogues.

La pression est souvent exprimée par la quantité dont elle dépasse celle de Tatmosphère. Ainsi, on dira que la pression d'un gaz est de 20 millimètres d'eau ; cela veut dire que sa pression dépasse de 20 millimètres d'eau celle de l'atmosphère, qui est de 10334 millimètres d'eau; cette pression serait ainsi exprimée par le nombre 10354.

Les températures T sont celles de l'échelle centigrade augmentées de 273^. Ainsi, la température de 15 degrés centigrades correspond à T = 273 + 15 = 288.

L'unité de travail est le kilogrammètre et l'unité de chaleur la calorie ; c'est en calories que se trouvera exprimée la quantité Q dans les formules où elle figure. Enfin la vitesse sera exprimée en mètres par seconde, si Ton met pour g la valeur 9'"8088.

98V. Applieation de la formule g^énérale. -^ Au

moyen de l'équation générale (2) on peut résoudre beaucoup de problèmes relatifs aux transformations subies par un gaz permanent.

Supposons, par exemple, un gaz, dont l'état initial est défini parpo» î^o, To, se dilatant en surmontant une pression constante p' inférieure à Po, jusqu'à occuper un volume Vj, sans perte ni gain de chaleur. On demande de déterminer sa pression pi et sa température Tj après l'expansion.

La pression p' étant constante, le travail extérieur / p'dv

•/vo

sera simplement p' (t'j — Vo) et Téquation générale (2), intégrée, donnera, en y faisant Q = 0:

0 = c{T,-T,) + Ap{v,-v,),

équation dans laquelle tout est connu excepté Ti que Ton en déduira. Enfin, ayant calculé T,, la pression finale p^ se trouvera par la relation j9i v^ = RTi.

Si, au lieu du volume final v^^ on avait donné la pression finale j9j, la même équation aurait fourni la valeur de Vi en fonction de Vo- En y adjoignant les deux relations poVo = RTo etj»iVi = RTi, ainsi que celle AR = c(ft — 1), on trouve :

On calcule ensuite T^ au moyen de p, v^ = RTj.

Si, comme cas particulier, on suppose que la pression /î', que le gaz doit surmonter pour se dilater, soit nulle, ce qui arrive lorsque Ton fait communiquer un réservoir rempli de gaz avec un autre où Ton a fait le vide, il faut, dans les équations précédentes, faire ;î'=0. U en résulte d'abord c(Ti — Tq) = 0, ou bien Tj = To : la température du gaz reste constante ;

puispi= ^^-2 . Ces conséquences ont été vérifiées par une expérience bien connue de Joule.

Les expressions (4) et (5) ci-dessus, du travail extérieur, dans les transformations adiabatiques ou isothermiques, résolvent d'ailleurs lo problème consistant à cherôher quel travail il sera nécessaire de dépenser pour faire subir à un gaz une transformation déterminée, ou inversement. Il est inutile, lorsque la température reste constante, de tenir compte des phases successives de la transformation, et Ton peut alors se borner à comparer Tétat final et Tétat initial de la masse gazeuse.

Par exemple, s'il s'agit de trouver le travail nécessaire pour comprimer, à une pression effective de 6 kilog. par centimètre carré, un mètre cube d'air aspiré dans Tatraosphère, la pression atmosphérique étant de l'',033 par cmq, la pression réelle à obtenir sera de 7'',033. Alors si la transformation est isothermique, on trouvera d après (5) pour le travail cherché, désigné par W :

Qoo^^

W = 10330 xLog 77,^= 19818 kilogrammfetres.

Si la transformation devait être adiabatique, soit sans gain ni perte de chaleur,la formule (4) fournirait, pour la valeur absolue de ce travail :

ce qui, faisant A: = i,41, donne :

W = 26532 kilogrammèlres.

Dans les appareils compresseurs d'air, il est assez difficile de savoir exactement laquelle de ces deux transformations se réalise : la température du gaz que Ton comprime est quelque fois à peu près la même à la fin qu'au commencement, quelquefois un peu plus élevée; les organes de la machine, en contact avec le gaz, lui cèdent ou lui prennent de la chaleur suivant que, dans les diverses phases du travail, ils se trouvent à une température plus élevée ou plus basse que la sienne ; le plus souvent, dans les grands appareils surtout, on injecte de Teau pendant la période de compression afin de maintenir la température à peu près constante et d'absorber la chaleur produite par la compression ; il en résulte en somme une transformation dans des conditions en quelque sorte intermédiaires entre celles qui correspondent aux deux hypothèses précédentes. Aussi prend-on, ordinairement, pour la valeur du travail cherché, un chiffre intermédiaire entre ceux que fournissent les deux formules. M. le professeur Riedler prend exactement la moyenne de ces deux chiffres ; dans l'exemple précédent^ i) admettrait donc :

^,, 19818 + 26532 «oi^» i -i

W= =23175 kilogrammètres.

M. Kraft, ingénieur en chef des usines de Seraing, admet que la loi de la compression peut se représenter par la formule adiabatique,mais avec une valeur différente pour le coefficient

Qoo^z

A, celte valeur étant d'autant plus rapprochée de l'unité que le refroidissement de Tair est plus parfait. D'après des expériences assez nombreuses,, faites par M. Joseph François, l'ingénieur bien connu^ sur des compresseurs de son système, comprimant l'air à 5 atmosphères, il a été amené à prendre k = 4,18 et, appliquant ce chiffre & l'exemple précédent, il trouve alors:

W r= 23021 kilogrammètres,

nombre peu différent de la moyenne calculée plus haut. M. Kraft augmente d'ailleurs de 3 0/0 le chiffre obtenu pour tenir comple de l'influence des espaces nuisibles et arrive ainsi, pour cet exemple, à 23711 kgmpar mètre cube d*air aspirée

Il n'est peut-être pas inutile de faire remarquer ici, à propos de ces compresseurs d'air, que Ton réalise une économie, dans le travail moteur, si> au lieu d'effectuer la compression en une seule fois, on la produit par gradation ou en cascade, c'est-à-dire au moyen de compressions successives. Cette économie serait nulle si la compression s'effectuait suivant la loi isothermique ou si la température du gaz restait rigoureusement constante pendant tout son séjour dans l'appareil; elle est d'autant plus grande que les conditions de la compression s'écartent davantage de celle-là, ou qu'elles se rapprochent de la loi adiabatique. Il est facile de se rendre compte de la différence.

i. Le travail mécanique ainsi calculé peut servir à trouver la puissance des moteurs destinés à actionner des compresseurs d'air^ connaissant le rendement de ces appareils, c'est-à-dire le rapport entre le travail de la compression de l'air et celui du moteur^ tous deux étant mesurés par les diagrammes tracés par des indicateurs de Watt placés sur les cylindres. Aux compresseurs installés au lac St-Fargeau par la Compagnie Popp, pour la distri^ bution de la force motrice dans Paris, ce rapport, ou le rendement de ces compresseurs, a été trouvé de 0,85. Dans ces conditions, le travail moteur nécessaire pour comprimer à &^ de pression effective un mètre cube d'air

23711 aspiré est de -r-rr = 27874 kilogrammètres. 11 en résulte qu'un cheval-va- 0,85

peur pourra comprimer 2iit688par seconde ou 9mc679S par heurei

Qoo^^

Dans l'exemple précédeûl, supposons que la compression, au lieu d'être effectuée en une seule fois, jusqu'à obtenir la pression effective de 6 kilog., s'effectue en deux fois : un premier compresseur prenant l'air à la pression atmosphérique ;?o = i0,330kil., et l'amenant à la pression j»'=40,330kiL, soit à une pression effective de 3 kilog.; puis un second compresseur prenant cet air à la pression p' et l'amenant à la pression définitive pi= 70,330 k, soit 6 kilog. effectifs. Si la transformation est rigoureusement isothermique, le travail Wj, nécessaire pour la première compression, sera, d'après (5) :

W.=;.ot;oLog?i;

et le travail W„ nécessaire à la seconde compression :

W.=/>VLog?l.

De sorte que le travail total \V==Wi+W, sera, puisque la température étant constante, /îV=/îoVo = RT:

W=/>,«, (Log Jî + Log ^)=P.t'o Log îî;

comme si la compression s'était effectuée en une seule fois.

Mais si la transformation est adiabatique,ou bien si elle est, comme on vient de le dire, intermédiaire entre Tadiabatique et l'isothermique et exprimée par une relation /?u* = constante, dans laquelle la valeur de l'exposant fc est supérieure à l'unité et au plus égale à 1,41, le travail nécessaire pour la première compression sera, d'après (4) :

et dans la seconde compression :

Si l'on suppose qu'entre les deux compressions, la température de l'air ait été ramenée à sa valeur initiale, p'v' sera encore égale à p^v^ et Ton aura, pour le travail total :

Qoo^z

Avec les valeurs numériques précédentes de p^, p\ p^ ce travail total W prend les valeurs suivantes :

i^ Dans l'hypothèse de la transformation isothermique, soit avec une seule, soit avec deux compressions successives W = 19818 kilogrammètres ;

2* Dans Thypothèse de la transformation adiabatique [k= 1,41) et d'une seule compression,

W= 26532 kilogrammètres ;

3^ Dans l'hypothèse de la transformation adiabatique et de deux compressions successives. W=23433 kilogrammètres;

4® Dans l'hypothèse intermédiaire, A=l,18, et d'une seule compression W= 23021 kilogrammètres;

5** Dans l'hypothèse intermédiaire et de deux compressions

successives \V=21620 kilogrammètres.

Dans cotte dernière hypothèse, qui parait correspondre aux conditions pratiques les plus ordinaires, l'économie obtenue en scindant la compression est de 1401 kilogrammètres, soit de plus de 6 0/0.

Il convient d'ajouter que le procédé des compressions successives a encore pour avantage de mieux régulariser le travail des machines motrices et d'éviter que les fortes pressions finales ne s'exercent sur les organes de grandes dimensions nécessaires à l'aspiration de grands volumes d'air à la pression atmosphérique.

9S8. Réservoirs d'air en eomnianieatioii avee les eondnites d'eau. — Lorsqu'une conduite contient une certaine quantité d'eau en mouvement, il arrive que, si l'écoulement

496 ClIAP. IX. - FUUIDES ÉLASTIQUES.

est brusqueûaent inlerrompu, la force vive de l'eau produit sur les parois de la conduile des pressions qui peuvent devenir assez forles pour en occasionner la rupture. Cette force vive, en effet, ne peut être détruite que par un travail résistant dû à la déformation élastique des tuyaux, et il peut arriver que celte déformation dépasse les limites de l'élasticité et de la rupture. Le choc qui se produit ainsi et qui s'appelle lo coup de bélier^ peut s'atténuer par une fermeture progressive et non brusque des oriflces d'écoulement, mais on a aussi recours dans le même but aux réservoirs d'air. L'emploi de cet appareil a pour effet de remplacer une portion de la paroi du tuyau par une matière élastique qui cède à la pression de Teau sans danger de rupture. L'air du réservoir se comprime, sa pression augmente et produit le travail résistant nécessaire pour amortir la force vive de l'eau.

Si Ton désigne par D le diamètre de la conduite, par L sa longueur, par U la vitesse moyenne de l'eau, de manière que la demi force vive à amortir soit, en appelant toujours n le

poids spécifique du liquide, - . — L.— ; il faut que cette

force vive soit détruite sans que la pression, dans le réservoir d'air, dépasse une valeur jDj fixée à l'avance et en vue delàquelle on a calculé la résistance des parois.

Soit ;?o la pression dans la conduite et dans le réservoir d'air avant l'interruption de l'écoulement. Négligeons le travail dû à Faction de la pesanteur sur l'eau en mouvement, dans le temps assez court pendant lequel l'eau continue à se mouvoir en pénétrant dans le réservoir et en comprimant l'air qui s'y trouve enfermé; négligeons de même les frottements de l'eau sur les parois de la conduite pendant ce même temps ; nous devrons écrire l'égalité entre la demi - force vive de l'eau, dont l'expression vient d'être donnée, et le travail résistant produit par le gaz lorsque sa pression passe de pohpi. La valeur de ce travail sera différente suivant les conditions thermiques de la compression ; elle ne sera pas la même si la compression

g i. — RÉSERVOIRS DAIR 497

s'effectue à température constante, suivant la loi isotliermique, ou bien si elle s'effectue sans perle ni gain de chaleur, suivant la loi adiabatique. Dans le premier cas, le travail négatif du

gaz, par unité de poids, sera exprimé par p^Vo Log. — •

Cette unité de poids, sous la pression initiale po occupe le volume t7o ; si l'on désigne donc par Yq le volume initial de Tair

dans le réservoir, son travail négatif sera po Vo Log. — et

Ton aura l'équation :

qui permettra de calculer le volume initial Vo à donner au réservoir pour que la pression n'y dépasse pas pi.

Il n'est pas probable que, dans la pratique, la compression du gaz se fasse suivant la loi isolhermique. Il faudrait, pour cela, que le gaz cédât à ses parois une quantité de chaleur équivalente au travail qui vient d'être évalué. Il est à croire, au contraire, que pendant le temps très court de la compression, le gaz ne reçoit ni ne cède aucune quantité de chaleur appréciable. Sa température s'élève donc d'abord et il n'abandonne que plus tard la chaleur qui lui a été transmise sous forme de travail mécanique. Si l'on suppose que la compression s'effectue suivant la loi adiabatique, le travail par unité de poids sera exprimé, comme nous l'avons vu plus haut, par la formule (4) du n* 234. Nous avons alors, pour déterminer Vo, l'équation :

dont le second terme est obtenu en mettant dans cette formule^

au lieu de Vo, volume de l'unité de poids du gaz, le volume

initial Vo du réservoir.

Cette hypothèse d'une compression adiabatique donnera

pour Vo une valeur qui sera^ en général, inférieure à celle que

Ton obtiendrait en supposant la compression isothermique. Par exemple, si, pour abréger, on représente par W le premier terme de chacune des deux équations précédentes, ou la demi-force vive à amortir, et si Ton veut que la pression, dans le réservoir, ne s^élëve pas au-delà du double de sa valeur initiale, il faudra faire — = 2, et alors le volume Vo à donner à ce réservoir sera, dans l'hypothèse isothermique ;

Vo=— 7 -=1,45- ;

PoLog.2 po

et dans Thypothèse adiabatique, en prenant pour k la valeur

approximative - :

soit une différence d'environ un dixième en moins. Il est donc préférable de calculer dans l'hypothèse d'une compression isothermique, car il n y a pas d'inconvénient à ce que le réservoir soit un peu trop grand.

980. BéserToirs d'air plaeés sur une eondaite d'eau alimentée par une pompe foulante. — On calcule de la même manière les réservoirs d'air placés sur les conduites alimentées par des pompes foulantes, afin d'y régulariser le mouvement de leau. Entre les pompes et le réservoir, l'écoulement de l'eau est intermittent, le volume fourni oscille entre zéro, si la pompe est à simple eflfet, et un certain maximum. Le volume total fourni par la pompe dans un temps donné doit être écoulé, au-delà du réservoir, avec une vitesse se rapprochant le plus possible de l'uniformité. On y arrive en faisant en sorte que la pression, dans le réservoir d*air, ne varie qu'entre des limiles assez étroiles. Si l'on désigne par Vo le volume d'air lorsque la pression a sa plus faible valeur /?o, et par V| ce volume lorsque la pression a atteint sa valeur la plua

Qoo^^

grande />,, une relation entre Vi et Vo sera donnée par les conditions d'alimentation de la conduite: la différence Vo — Vi correspondra à l'excès du volume dVau fourni parles pompes, dans une période de leur mouvement, sur le volume qui s'est écoulé avec une vitesse moyenne supposée constante. On peut donc admettre que la différence Vo — Vi est une donnée de la question, il en est de même de la pression initiale p^. Enfin, d'après le degré de régularité que Ton veut donner à Técoulement, on limitera arbitrairement la différence pi — po entre

les pressions extrêmes ou plutôt le rapport -, Le problème

est donc ainsi posé : connaissant ce rapport -et la différence

Vo — Vi, calculer Vq. On remarquera, d'ailleurs, que les volumes Vo et V, d'une même masse de gaz sont proportionnels aux volumes de l'unité de poids que nous avons appelés v^ et Vi. Dans l'hypothèse isothermique, on aura: PoVo===;?iVi, ce qui donnera :

L'hypothèse adiabatique, où;?oVo*=PiVi*, fournira:

-,(Vo-V.)^

L'exposant - qui affecte le rapport ~ dans cette seconde formule étant plus petit que Tunité, exposant du même rapport dans la première, la seconde valeur de Vq sera plus grande

que la précédente. Lorsque le rapport - diffère peu de l'unité,

ce que l'on doit chercher à réaliser, la dernière valeur de V© vaut à peu près : •

* (Vo-V.),

CHAP. IX. — FLUlDIfiS ÉLASTIQUES.

c^csl'à-dire qu'elle est à peu près égale à la première mulli-

pliéeparfeou par-. Il est donc probable que dans les réservoirs calculés d'après Thypolkèse isothermique, la pression varie dans des limites un peu plus étendues que celles que Ton a supposées pour faire les calculs, ou que ces réservoirs sont un peu trop pelits. En effet, les conditions doivent être, ici encore, intermédiaires entre celles qui répondent aux deux hypothèses.

940. Éconlement par nu orlflee. — Considérons un réservoir rempli de gaz, et dans lequel la pression soit maintenue constante et égale à po ; supposons que ce gaz s'écoule par un orifice de section &>, muni d'un ajutage cylindrique ou d*un tuyau de même section (o ; admettons aussi que la pression 2>i, que ce gaz doit surmonter pour s'écouler ainsi, soit constante. Imaginons, par exemple, que le gaz du, réservoir soit pressé par un piston AB (fig. 109) de section û qui

se déplace sous Faction d'une pression constante po ; et que, de mémème, dans le tuyau d'écoulement se trouve un autre piston CD qui supporte sur sa face opposée une pression constante pi (ces pistons sont, bien entendu, fictifs et simplement supposés remplacer des sections idéales faites à tra-^ vers le fluide par des plans AB, CD). Désignons par u la vitesse moyenne de l'écoulement dans le tuyau ; cette vitesse sera celle du piston CD. Le piston AB s'étant avancé d'une

Fig. 109.

quantité telle que Tunité de poids du gaz ait passé par l^orifice, le volume décrit par ce piston est Vo, volume de l'unité de poids dans le réservoir, et le travail extérieur transmis au gaz par le piston AB est égal à p^v^. Pendant le même teraps^ l'unité de poids du gaz qui s'est écoulée a repoussé le piston CD et lui a fait décrire un volume v^ égal à celui qu'elle occupe dans le tuyau d'écoulement. Le gaz a produit ainsi un travail extérieur p^v^, et le travail qui lui a été transmis est, en totalité, la différence Po^o -*/>it'i. Mais, pour que l'unité de poids qui occupait le volume Vo se soit comprimée de manière à ne plus occuper que le volume t^i, il a fallu exercer sur elle

pdv. Ce travail provient de l'énergie in-

terne des éléments voisins qui ont produit la compression dont il s'agit. Le travail communiqué au gaz ou gagné par lui est ainsi :

Ce travail est employé à produire le mouvement. La force vive du gaz s*est augmentée du produit de la masse - de l'unité do

poids qui s'est écoulée par -r-. On a ainsi l'équation, dite de Zeuner :

(6) ïg=P''''~P'^''^fil' P^^ •

On a, d'autre part :

d{pv)=pdv 4- vdp,

d'où, en substituant :

OU bien

iK)2 CHAP. IX. — FLUIDES ÉLASTIQUES.

Cette équation a été donnée par de Saint- Venant bien avant Zeuner.

On peut encore donner à cette équation une autre forme, on y faisant intervenir les conditions thermiques. L'équation générale :

étant intégrée entre les deux états extrêmes désignés par les indicés 0 et 1, donne, en appelant Q la quantité de chaleur fournie au gaz dans sa transformation :

(8). Q = c{T,-T,)-hA£ pdv.

D'autre part, Téquation de Mariotte et Gay-Lussac fournit :

PoVo=KT,, PiV, = KT,.

Si, dans l'équation (6) nous substituons kp^Vo et àp,t?i ces valeurs, et si, au moyen de la. précédente, nous éliminons l'intégrale / ^pdv, nous obtiendrons :

(9) g=R(T.-T.)+j^;,rfo,

ou bien :

ou bien, puisque c+AR=Ac :

Sous l'une ou l'autre des formes précédentes, l'équation dite de Zeuner, qui sérail plus justement nommée équation de Saint- Venant, permettra de résoudre les divers problèmes relatifs àTécoulement d'un gaz sortant d'un réservoir.

Si, par exemple, l'écoulement se fait sans introduction

ni soustraction de chaleur, Q = 0^ l'équatioa (iO) se réduit à :

| = ^-(T.-T,,=fT.(.-îi)-

Nous avons vu plus haut que dans une transformation adia* batique on avait :

Il en résulte, par conséquent, pour la vitesse ti d'écoulement d'un fluide dans ces conditions :

formule dans laquelle T^^pa etpi sont supposées données.

Si Técoulement se fait à température constante Ti=To, Téquation (9) donne simplement :

avons trouvé Ton a :

r pdv=p,v, Log. J = RT.Log. ^-

Jvo Pi Pi

On trouve alors :

(12) t/ = U2i7RToLog.J?,

^ Pi

formule qui donne w, si Tq, Pq et pi sont connus. Cette formule est celle qui a été donnée par Navier, avec p^Vo au lieu de RTq. Elle était appliquée par lui à tous les cas d'écoulement, et Ton voit qu'elle n'est exacte que lorsque la température du gaz reste constante ^

1. Je dois parler ici, pour mémoire^ de deux conséquences paradoxales qui ont été déduites de cette formule de Navier. La première, la plus singulière peut-être, est que, pour pi = 0, la formule donne tt= oo . Un réservoir se viderait instantanément dans le vide. On verra, quelques lignes plus loin, que

et nous avons trouvé plus haut que, dans ces conditions,

i04 ClIAP. IX. — FLUIDES ÉLASTIQUES.

En réalité^ dans les circonstances les plus ordinaires, c'est plulôlla formule (11) correspondant à récoulemeni adiabatique qu'il fauX appliquera Cest généralement sans perte ni gain appréciable de cbaleur que se produit l'écoulement d'un gaz qui sort d'un réservoir. Il se produit alors un abaissement de température et Ton peut calculer la température Ti de la veine qui s'écoule ; elle est :

pour maintenir constante la température, ou pour rendre la formule applicable, il faut fournir au gaz une quantité de chaleur exprimée par A ^, c*e8t-à-dir®

infinie elle-même. Il y a donc impossibilité.

La seconde est celle-ci. Calculons le volume de gaz dépensé sous la pression p|. Si 6^ est la section de l'orifice, ce volume sera wti, et si on le ramène à une autre pression donnée constante p^, ce volume deviendra :

Pi Pî ^

^-"-^^/2,RT,Log.^^

Le volume de gaz écoulé, mesuré & une pression constante quelconque Pf, est donc proportionnel au produit :

PtV/^

Log. à.

De sorte que si la pression p^ à l'intérieur du réservoir est donnée, le volume écoulé sera maximum pour la valeur de la pression extérieure pi qui annule la dérivée, par rapport kpi, de cette expression ou de son carré, ce qui donne :

2Log. ?2=i, ou ^ = v^.

Pi Pi

ou encore Pi =0,607 p^. L'expérience ne confirme nullement ce résultat paradoxal, elle n'indique aucun maximum de débit pour les diverses valeurs du

Pi rapport i— Il est évident d'ailleurs que le raisonnement ci-dessus suppose

Po la température constante, ce qui ne pourrait avoir lieu que par une addition de chaleur. Les circonstances de l'écoulement sont fonction de la quantité de chaleur introduite^ et si cette quantité est nulle, l'écoulement est réglé par la formule (11) et non par celle de Navier.

1. Il serait sans doute, en tout cas, toujours possible de rendre cette formule (il) conforme aux conditions thermiques de l'écoulement, en y adop* tant, d'après les idées de M. Kraft, une valeur intermédiaire entre i,4i et 1 pour le coefBcient k.

. Pour que la température rest&l constante, comme le suppose la formule (12) de Navier, il faudrait fournir au gaz une quantité de chaleur :

Q = A^=ART.Log.fî.

^ Pi

L'expérience ne confirme pas absolument les résultats du calcul. Il se produit, au pourtour de Torifice, des frottements qui absorbent une certaine quantité de travail, et la vitesse effective U est inférieure à la vitesse u donnée par la formule. On a ainsi, en appelant y un coefficient plus petit que

Funité :

U=YW.

Les expériences de Weisbach ont montré que, pour des orifices en mince paroi, le coefficient y était environ 0,98. Avec des ajutages cylindriques très courts, sa valeur est descendue au-dessous de 0,80.

941. Oontraetion de la veine yaseuse et pitéuo* mène qui l'aeeompaime. — Il se produit aussi, lorsque Torifice est en mince paroi, une contraction de la veine fluide ; la section d'écoulement est inférieure à celle ^ de Torifice, elle n'est qu'une fraction, représentée par un coefficient (^ < i, de celle-ci, et le coefficient de débit, produit des deux coefficients Y ot [L, varie, suivant la charge et suivant la forme des orifices, de 0,56 à 0,80. Il augmente avec la charge.

Lorsqu'un gaz sort ainsi d'un orifice en mince paroi ou en paroi épaisse, et débouche dans l'atmosphère ou dans un autre milieu, le frottement des particules en mouvement sur celles qui sont en repos et qui entourent la veine gazeuse entraine celles-ci et produit un vide relatif ou une diminution de pression analogue à celle que l'on constate dans un ajutage cylindrique où s'écoule une veine liquide. Cet effet d'entraînement est d'autant plus grand que la vitesse du gaz qui sort est plus rapide ou que la pression dans le réservoir est plus considérable.

Une observation qui met ce fait en évidence a été faite ré-

Fig. 110.

Gemment par M. Lauriol, ingénieur des ponts et chaussées *« Un entonnoir en métal communique par le bout avec un réservoir contenant de l'hydro- 'H-rf::^^^^'!^ gène comprimé à 300 atmosphères. La communication peut être établie ou interrompue à Taide d'un robinet.

Au bout large est adapté un tube en étoffe de soie vernie débouchant dans l'atmosphère ou dans une capacité où la pression est peu différente (fig. 110). Lorsqu'on établit la communication, le tuyau d'étoffe, ,^^2^sr^- au lieu de se gonfler sur toute sa longueur, est aspiré vers rintérieur de Tentonnoir, tout le long du bord, comme on Tarcprésenié en coupe sur la fig. 111, et ne se gonfle qu'à un mètre environ de l'entonnoir.

Fig. 111.

t4t. Éeoalenient varié des s^as. Remplissage d^nn Réservoir. — Les formules précédentes (11) et (12), déduites^ de celle de Zeuner, donnent la vitesse d'écoulement d'un gaz sortant d'un réservoir à pression constante Po lorsque la pression d'aval est constante et égale à /?i. Il est assez rare que le problème se présente avec cette simplicité, et le plus souvent le gaz sortant d'un réservoir sert à en remplir un autre où la pression est d'abord inférieure, puis va en croissant. La pression dans le réservoir alimentaire peut être considérée comme constante, soit à cause de ses grandes dimensions par rapport à celle du réservoir alimenté, soit plus ordinairement parce qu'il est maintenu à pression constante par des pompes ou des compresseurs dont le fonctionne-, ment y introduit, à chaque instant, une quantité de gaz égale à celle qui s'en écoule. Le remplissage progressif du