ioVkmaX de V éclairage au gaz^ 20 février
8 3. — MOUVEMEiNT DES GAZ, KOÏ
récipient se fait au contraire à une pression croissante d'abord égale à p^ (ordinairement la pression atmosphérique), puis augmentant jusqu'à ce qu'elle devienne égale à celle po du réservoir alimentaire. Le remplissage est alors complet.
Ce problème a été traité pour la première fois par M. Raton de la Goupillière dans une note présentée à TAcadémio des sciences dans les séances des 18, 26 octobre et 2 novembre 1886, k laquelle nous empruntons ce qui va suivre.
Désignons par V la capacité du récipient, primitivement plein de gaz à la pression jOj qu'il s'agit de remplir en le met^ tant en communication avec un réservoir indéfini où la pression est maintenue constante, p^. Appelons p la pression va-t fiable, intermédiaire entre ;?i et /?oi qui se trouve à Tépoque t dans le récipient V, et II le poids de l'unité de volume, également variable, du gaz, à la même époque dans le même récipient. Le poids du gaz qu'il contiendra, à cette époque t^ sera yn et pendant un temps élémentaire dt, ce poids s'accroîtra de Vcin. D'autre part, en désignant par <i> la section de rorir fice, par m le coefficient de débit et par u la vitesse d*écoulement à Tépoque considérée, le volume écoulé pendant ce temps dt sera m<ùudû et le poids correspondant sera mij^lhidl. Nous avons ainsi l'égalité :
Wdn=m(ùUudL
Mais, pour reprendre les notations employées plus haut, nous avons, entre le poids II de Tunité de volume et le volume v de l'unité de poids du gaz, la relation t;n=l ou vdU.+ndv=0. Cela nous permet de remplacer, dans l'égalité précédente, rfn
par et de l'écrire :
mw i dv
D'autre part, l'équation (7) de St- Venant nous donne la valeur de u :
tt« r^ 7 r^ dp ,
J^ vdp = J v-dv,
d'où, en subslitaaat :
rf/=.
dv
■Vpî'
Et, pour avoir le temps t qui se sera écoulé depuis Tépoque où le volume de Tunité de poids v avait la valeur Vt dans le récipient, c*6st-à-dire depuis le commencement de Técoule* ment jusqu'à celle où celte variable a une valeur quelconque V, il suffira d'intégrer cette expression entre les deux limites Vi et t;. Puis, en faisant f = t)o, on aura la durée totale du remplissage.
L'intégrale qui figure sous le radical, en dénominateur, dépendra de la loi de variation de p avec v, et cette loi, elle-même, dépendra des conditions thermiques de l'écoulement.
Si, par exemple, l'écoulement est isotherme, c'est-à-dire si Ton fournit au gaz la quantité de chaleur nécessaire pour que sa température T reste constante, on aura toujours ;
dv V
et par suite
D'où, en substituant :
dt=- ^
\/*ffRT
et par suite :
/^p dv
m«V2ffRT / ../lj, 1 »»"' pRT
8 3. - MOUVEMENT DES <iAZ. 509
On peut remplacer les rapports -^ et — par les rapports in-
verses des pressions ?î et — et si Ton fait t; = «o (ou />=po) pour avoir la durée totale 6 du remplissage, on trouvera :
6 = ^, mu
Mais il est rare que Técoulement suive cette loi isothermique. Bien plus ordinairement, il s'effectue sans perte ni gain de chaleur, c*est-à-dire suivant la loi adiabatique. On a alors, à une époque quelconque :
k k Po^o k — Jb
et par suite :
d'où, en substituant :
V do
dt = ^
