V^RT^ V

vl-Jt-

Pour effectuer cette intégration, M. Haton de la Goupilliëre prend comme variable auxiliaire :

ce qui donne, en substituant après avoir changé de signe :

2V dx

dt=-

m«v'2(>HikT(A — l)a?\/l— ««*

dx sa

L'inléffrale de — étant , on en déduit, en

° xVi — x* 1 + v'l— a:»

intégrant entre les limites t?, et v et remplaçant dans le résolu tat le rapport - par (— )î :

»»« V oRT&Cit— 1)

^RTA:(it— 1)

La durée totale 6 du remplissage^ obtenue en faisant /?==^o, est :

Pour un récipient de 1 mètre cube (V^zl"**^) et un orifice circulaire de 0",10 de diamètre f(i)=^r=0"*'j785), une température de 20'' centigrades (T=293'') et un rapport de pression égal à deux / — =2 j, M. Haton a trouvé pour la durée

du remplissage 4",56. Lorsque, à la même température, le rapport des pressions prend les valeurs suivantes :

la durée du remplissage devient respectivement:

Lorsque r^ n'est que de 1,1, la durée du remplissage s'abaisse

à six dixiènies de seconde.

La durée 6 est proportionnelle au volume V et les valeurs qui viennent d'être écrites s'appliquent à la valeur V = 1™°. Elle est inversement proportionnelle à la superficie co de l'orifice par lequel le gaz s'écoule, ou au carré du diamètre de cet

Qoo^^

§ 3. - MOUVEMEiNT DES GAZ. 511

orifice s'il est circulaire. Les valeurs précédentes de © s'appliquent à un orifice circulaire de 0",1 de diamètre.

Enfin, elle varie suivant la nature du gaz en raison inverse de \/R. Les valeurs ci-dessus se rapportent à Pair atmosphérique. Les variations de la température sont peu importantes en pratique : les valeurs calculées pour la température de 20** centigrades ou pour T = 293, seraient à peu près applicables aux températures comprises entre 10» et SO**, c'est-à-dire aux valeurs de T comprises entre 283 et 303, lesquelles correspondent à peu près aux cas les plus ordinaires de la pratique.

M. Haton de la Goupillière a traité également le problème

qui consiste à trouver la durée de la vidange d'un réservoir

dans un espace où la pression est constante, comme Tat-

mosphère. Ce problème semble avoir moins d'utilité pratique

que celui qui vient d'être résolu. L'intégration des équations n'a

pu s'y faire qu'en attribuant au coefficient k la valeur approxi-

mative p, et la formule à laquelle on arrive est plus compliquée

que les précédentes.

t43. Écoulement d^an gax par uneloni^ve eonduito.

— Le problème de l'écoulement permanent d'un gaz par une longue conduite a une application fréquente dans la distribution du gaz qui sert à l'éclairage. Il ne pourrait se résoudre d'une manière rigoureuse, de même que tous ceux qui précèdent, que si Ton connaissait parfaitement les conditions thermiques de l'écoulement. Mais on peut, lorsqu'il s'agit des applications au gaz d'éclairage supposer, avec une approximation suffisante, que la température du gaz reste constante. A la vérité cette hypothèse entraîne comme conséquence des échanges de chaleur entre le gaz et les parois de la conduite dans laquelle il s'écoule, car, ainsi que nous l'avons vu,toute transformation isothermique est nécessairement accompagnée de gain ou de perte de chaleur^ et l'écoulement

ol2 CHAP. IX. - FLUIDES ÉLASTiQUKS.

du gaz ne peut avoir lieu qu'autant que sa pression et sa densité varient d'un point à Taulre de la conduite. Mais ces variations sont faibles, en général, et s'effectuent lentement ; les petites variations de température, dont elles seraient accompagnées si le gaz ne recevait ni ne perdait de chaleur, disparaissent bien vite par suite du contact du gaz avec les parois de la conduite dont la température est maintenue constante par la terre qui Tentoure. Ces parois cèdent ou prennent au gaz les petites quantités de chaleur nécessaires pour le maintenir à une même température sans que la leur en soit sensiblement affectée.

Avec cette hypothèse de Técoulement isothermique, le problème de l'écoulement du gaz dans une conduite devient plus facile.

Il reste toujours à déterminer l'action des parois sur le gaz, mais on l'exprime simplement, comme le frottement d'un liquide dans les mêmes conditions, par une fonction de la vitesse moyenne. Le problème peut alors se mettre en équation de la manière suivante :

Supposons que tous les filets du gaz dans une même section transversale aient des vitesses égales à la vitesse moyenne U, et

considérons, dans une conduite à diamètre constant D (fig. 112), deux sections transversales infiniment voisines Fig. 112. AB, A'B' à une distance ds=\]dt l'une

de l'autre. Désignons, pour abréger, par <o 1 aire -j- et par j^

le périmètre wD de la section de la conduite, et aussi par p la pression et par H le poids spécifique du gaz dans l'espace infiniment petit considéré. La masse du gaz comprise entre ces

deux sections infiniment voisines sera - tùds, et l'accroissement

de là quantité de mouvement de cette masse, rapporté à Tunité de temps, sera, si nous admettons que toutes les molécules passent simultanément de la vitesse U à la vitesse U + dU, le

produit de celle masse par le rapport de rfU à l'élément de temps dt pendant lequel celte augmenlalion de vitesse a eu lieu. Ce sera ainsi :

n , rfU

g dt

Cet accroissement de la quantité de mouvement doit être égal à la somme des projections des forces sm* la direction de la vitesse U, ou sur Taxe du tuyau. La pression sur la section AB est p(ù, sur la section A'B' elle est — (/? + dp)<ù ; et ces deux forces se projettent en vraie grandeur. La pesanleur,ou le poids de la tranche considérée est ïliùds et sa projection sur Taxe sera, en appelant dz la différence de niveau des centres de gravité des seclions AB, A'B', égale — ïltùdz. Enfin le froltement, exprimé par une fonction /(U) de la vitesse moyenne, est proportionnel à la surface yds sur laquelle il s'exerce; il vaudra donc ainsi — y/(U)rf5 et se projettera en vraie grandeur sur Vaxe du tuyau. On aura, en réunissant tous ces termes,réquation :

- (ùds — = — (iïdp — ïltùdz — yj (U) ds.

ou, remplaçant dans le premier terme, — par U et divisant tous les termes par ÏI<ù :

équation tout à fait analogue à celle que nous avons trouvée plus haut pour les liquides.

Les expériences de M. Arson ont montré que, par analogie avec ce que Prony avait indiqué pour l'écoulement de Feau, le

terme — • qui représente le frottement doit s'exprimer par une

fonction du second degré dô U et que Ton doit poser :

bU CHAK IX. — FLUIDES ELASTIQUES.

a et 6 étant des coefiicienls numériques variables avec le diamètre de la conduite.

944. Pormule de l'éeoiileiiie0t. — D'autre part, il y a, entre II et U une relation nécessaire qui exprime que le poids de gaz débité est le même, à travers toutes les sections de la conduite puisque le mouvement est supposé permanent; ce poids a pour valeur, pendant Tunité de temps U^V, et ce produit doit être constant ; comme d*ailleurs o> est constant, il en résulte :

II U = constante.

D'autre part, la température du gaz étant aussi, par hypothèse, la même dans toutes les sections, le poids spécifique II est

proportionnel à la pression ; le rapport - est constant. Dési.

gnons-le par K, ou posons :

Le produit IIU étant constant, il en sera de même du produit pU et nous pourrons écrire, en appelant K' une nouvelle constante :

U en résulte:

pV=K\

V^^^ et dU = -^^.

Substituons ces nouvelles notations dans Téquation précédente ; elle devient, après avoir multiplié tous les termes par/?*:

1^ = p'dz H- Kpdp + ^ (aK> + *K'») ds.

Les deux termes p^dz et pds ne sont pas immédiatement intégrables ; on ne pourrait les intégrer que si Ton connaissait

§ à. — MOUVEMENT DES GAZ. 515

la loi de variation de la pression p avec la longueurs de la conduite ou avec la diiïérence de niveau z des sections successives ; mais, lorsqu'il s'agit de conduites dans lesquelles la pression varie peu, il est permis d'en négliger les variations dans les deux termes dont il s'agit, dont le premier surtout est ordinairement peu important, et d'y substituer, à la pression variable jo, la valeur moyenne j(/?o+JOi) entre les pressions /?o et /?i

aux deux extrémités de la portion de conduite à laquelle on applique le calcul. Désignons par L la longueur totale de cette conduite, par h la différence de niveau de ses extrémités, h étant positif si Textrémité d'aval est plus élevée que celle d'amont et négatif dans le cas contraire, l'intégration, effectuée sur la longueur L aux deux extrémités de laquelle existent les

pressions /?o et ;?i, donnera, en mettant pour -sa valeur- :

Suivant que Ton voudra calculer la vitesse moyenne Uo à rentrée de la conduite ou U| à la sortie, on remplacera, dans cette équation, la constante K' parpoUo ouparj^jUi.

Si, par exemple, on veut connaître la vitesse Uoà l'entrée de la conduite, ce qui, dit M. Arson,^ à qui nous empruntons ce calcul, conduit à une expression qui est en rapport plus direct avec les volumes observés dans les gazomètres^ on trouve l'équation :

Au Gontraira si l'on veut connaître la vitesse Uj à la sortie,

1. Expériences sur l'écoulement des ga:; en longues conduites par M. Ar- Bon, ingénieur en chef de la Compagnie parisienne du Gaz. Paris 1867,

QiOo^z

ce qui est eu rapport plus direct avec les volumes mesurés à la consommation, on trouvera Téquation :

(iL^+u„,.^:)u,.^?^(.+j.)u,= =i[e;)'-']-:-('+3"

94^. ValeuM éeu coefflcients. — Il convient de remarquer que le coefficient K = - représente le produit de la pression p par l'inverse du poids spécifique ou par le volume de Tunité de poids, que nous avons appelé v dans les numéros précédents. On a ainsi, d*aprës la loi de Mariolte, que nous supposons applicable :

La valeur de R a été donnée plus haut pour divers gaz el en particulier pour le gaz d*éclairage, T est la température absolue, ou celle de Téchelle centigrade augmentée de 273\

Les coefficients a et 6 ont été déterminés par les expériences de M. Arson. Il a trouvé qu'ils sont variables avec le diamètre des conduites et qu'ils vont en décroissant, d'une manière très appréciable pour les petits diamètres, à mesure que cette dimension augmente. De plus, comme pour les conduites d'eau, la nature de la paroi influe sur la valeur de ces coefficients. Les chiffres ci-après se rapportent aux conduites en fonte, qui sont le plus généralement employées.

Diamètre de la condaite

Coef]Bci.Dt

Coaracienl

Dans les conduites en fer blanc, des expériences ont élé faites seulement avec des diamètres de 0"05 et l'on a trouvé, pour aeib les valeurs suivantes :

Pour les diamètres intermédiaires des conduites en fonte, on interpolerait, afin d*avoir les valeurs correspondantes do a et de b. Pour les diamètres supérieurs à O^'fSO, M. Arson pense que Ton peut prendre a = 0 et :

b =z 0,000220 pour D = 0",60 b = 0,000200 pour D = 0",70.

D'après la forme de la courbe jointe au travail de M. Arson, et qui représente les variations de b en fonction du diamètre D, on serait sans doute conduit à adopter, pour les diamètres supérieurs à 0°*,70, une valeur constante, voisine de 0,000200, pour le coefficient b.

94a. Simpliilcatiou de la rormale. — Les formules précédentes, destinées à donner la vitesse moyenne Uo ou Ut en fonction des pressions extrêmes /^o etpi, sont assez compliquées; on peut en général, dans les applications, les simplifier en leur conservant une approximation suffisante. D'abord, si les pressions p^ et pi sont peu différentes Tune de

l'autre, le rapport — est voisin de l'unité, son logarithme est

très petit et peut être négligé en présence du terme précédent lorsque la longueur L, qui affecte ce terme, est un peu grande. On peut aussi, dans le terme enUo et dans le terme en A, remplacer par l'unité le rapport - ; et enfin le terme en K, affecté

du facteur 1 — ^^'V, peut être écrit (^' -+- l) ^^^^H^'^ ou à peu près —^ -, Avec ces simplifications, l'équation en Uo

devient :

^± (aU, + bV,') = K ^^^ -h.

5i8 CHAP, IX. — FLUIDES ÉLASTIQUES.

L'équation en Ui donnerait la même chose avec Pi au lieu de p« au dénominateur du premier terme du second membre ; les deux vitesses Uo et Ui sont donc elles-mêmes peu différentes^ Dans les applications, on considère qu'elles sont sensiblement égales et on adopte, pour la vitesse moyenne d'un gaz qui s'écoule par une conduite, une valeur moyenne U qui correspond à, une pression moyenne intermédiaire entre po ^t p,. Dans cette hypothèse simplifieative, on remplacera donc, en même temps que U© par U, la pression p^ par cette valeur

moyenne, ou le rapport - par l'inverse du poids spécifique du

gaz, mesuré à cette pression moyenne et que nous représenterons par IL Si, de plus, toujours en vue de simplifier, on suppose que les deux extrémités de la conduite sont au même niveau, A=0; et l'on obtient la formule suivante, qui est suffisante pour les applications à la distribution du gaz d'éclairage :

On peut, comme on Ta fait pour les liquides, représenter par J la perte de charge, ou la perte de pression par unité de longueur, et poser J = . La formule devient alors :

J=g n(aU + *U').

Cette formule est alors identique à celle de Prony, que nous avons donnée au n* 77 pour l'écoulement de l'eau, le poids spécifique II étant alors égal à l'unité. On peut même remarquer que les coefficients numériques, proposés par Prony pour l'eau, sont peu différents de ceux que M. Arson a trouvés pour le gaz, lorsque le diamètre est un peu grand. C'est au moyen de cette formule qu'ont été calculées par M. Arson les tables numériques servant à déterminer les diamètres des conduites de gaz qui, sous une pression donnée doivent débiter un volume également donné.

Qoo^^

Dans un remarquable travail intitulé : Étude théorique sur V écoulement des gaz en longues conduites \ M. Lucien Monnîer a établi, par des considérations purement théoriques, la formule suivante, pour la perle de charge dans les conduites :

dans laquelle J est la perte de charge en millimètres d'eau par mètre de longueur de la conduite, Q le volume débité en mètres cubes à l'heure, D le diamètre de la conduite en millimètres et ^ le poids spécifique du gaz, celui de Tair étant pris pour unité. Appliquée au gaz d'éclairage pour lequel ^ = 0,42 environ, cette formule devient simplement :

irD*

Si Ton y remplace Q par sa valeur — U, elle devient :

500 ir . 1571 ^, J =-^. U=— . U.

£lle ne serait donc autre que la précédente dans laquelle on ferait 6 = 0 et où Ton déterminerait a par la relation illa»

f—j — , ce qui donnerait a = 0,00257.

Les expériences de M. Arson et les valeurs qu'il a trouvées pour le coefficient b semblent montrer qu'il n'est pas négligeable^ bien qu'il diminue lorsque le diamètre de la conduite augmente ; mais elles ont également montré que le coefficient a diminue encore plus rapidement. Ce ne serait donc que pour les petits diamètres, et sans doute surtout alors pour les petites vitesses que la formule de M. Monnier aurait chance de donner des résultats suffisamment approchés. Je ne pense pas qu'elle soit appliquée.

i. Publié dans le compte-rendu du 14« Congrès de la Société technique de l'Industrie du gaz, tenu à Nancy en 1887.

Qoo^^

919. €)ondaito» d'air comprimé. — Les formules et surtout les coefficients numériques qui précèdent sont applicables au gaz d'éclairage et en général à tous les gaz dont la pression diffère peu de celle de Tatmosphère. Leurs résultats ne semblent pas concorder aussi bien avec les faits lorsque la pression est différente» et en particulier lorsqu'il s'agit de transporter de l'air comprimé sous une pression de plusieurs atmosphères. Des expériences sur ce sujet ont été faites avant le commencement des travaux de percement du tunnel du Mont- Genis, par les soins de M. Sommeiller, mais elles n*ont porté que sur des conduites d'un très faible diamètre. Tout récemment» par suite des applications de l'air comprimé au transport et à la distribution de la force motrice» la question a pris une grande importance et de nouvelles expériences ont été entreprises à Paris, à Tusine construite par la Cie Popp à St-Fargeau, et M. le professeur Riedler en a rendu compte dans une brochure dont la traduction française vient de paraître ^ Les pertes de charge dues au frottement ont été trouvées

bO.30

Volume écoulô par heure

Pression dans la conduite

Terte de charge

1 fc--« S

Longu

la condui

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la prcssio moyenne la condui

ommence-

ment