C^a« d'uue eonduito très longue. — Lorsque la
1. En particulier, on peut remarquer que les tables V et VI proposées au n^ 84 fourniraient, pour l'exemple précédent, un résultat beaucoup plus approché que celles de Darcy. La table VI donne, en effet, pour la valeur
Q=0«,528, le rapport - =0,33 environ, et la table V, pour D=0,30, donne
y = 0,43. lien résulte J = 0,33X0,43 = 0,142.
Par suite, Jn=:i:0,142X8,886=:lk,262,soit 1262* par kilomètre, alors que Tobservation a donné 1252 kilogr. L'accord est aussi satisfaisant que possible.
conduite est 1res longue, on peut, comme' il a été dit plas haut, la diviser en plusieurs parties, pour chacune desquelles on calcule successivement la perte de charge ; on trouve ainsi la pression et par suite le volume et la vitesse du gaz au commencement de chacune des sections en lesquelles la longueur a été partagée. Mais on peut aussi, en supposant que la perte de charge s'exprime en fonction du carré de la vitesse moyenne U, soit par la formule de Darcy, soit autrement, adopter le mode de calcul suivant, dont je dois la communication à l'obligeance de M. Kraft.
Soient, à Torigine de la conduite, pi la pression, Ht le poids
de l'unité de volume, U, la vitesse moyenne, et Qj = -— Ut
le volume débité en une seconde. Représentons par p^ II, U
et Q les quantités correspondantes, en un point quelconque
de la conduite défini par son abscisse x, et par /?,, fli. Us et
Qt les mêmes quantités à Textrémité de la conduite, dont L
sera la longueur totale. Nous aurons, entre ces quantités, les
relations évidentes :
nQ = n,o, = n.Q.; i = '^ = %.
La perte de charge pour une longueur infiniment petite dx étant représentée par -^, on aura :
-îsâ='."'=».(;^.)>-
OU, en appelant C le coefficient supposé constant : C= -jr-j,
rfjo = — CQ'ndx = — C ^ n.Qi'dx.
Remarquant que C, pi, TIi et Q^ sont des constantes, on trouvera en intégrant sur toute la longueur L de la conduite :
;>i*-/>/=2Cp,n,Q»*L;
QiOo^z
§ 3. — MOUVKMENT DES GAZ. o2S
OU
h=Pi\/
l-2CHlQ,«L.
A une température donnée, le rapport -J est constant et égal à — , soit, par exemple, à lO'^etpourrair atmosphérique:
Pi 29,9 X 283 alors, la perte de charge lotale, ji?i — p, s'exprime par :
p, —p, =p, {^ - y/1 0,0002414 CQi^L) .
Le coefficient numérique, sous le radical, varierait un peu avec la température, mais dans de très faibles proportions, et dans la plupart des applications pratiques on pourra lui conserver la valeur indiquée.
Si L n'est pas très grand, et que le dernier terme soit une petite fraction de Tunité, on a, à peu près :
et par suite ;>i— /?j=CIIiQi*L, comme nous l'avons admis dans les calculs approximatifs précédents.
949. Perte «l'énergie due au transport de Fair eontprimé. — La perte de charge produite par le frottement do l'air dans les conduites ne représente pas, à beaucoup près, la perte d'énergie du gaz. En effet, pendant que la pression diminue, du fait de celte perte de charge, le volume correspondant du gaz augmente et, si la température du gaz est restée constante, c'est-à-dire si les parois de la conduite lui ont restitué la chaleur qui correspond à sa détente, le travail mécanique que peut produire un mètre cube d'air à l'extrémité d'une longue conduite différera peu de celui qui a été néces^ saire pour le comprimer.
Soit^ comme ci-dessus, p^ et p^ les pressions à Torigine et
m CHAP. IX. — FLUIDES ÉLASTIQUES.
à la fin de la conduite, de telle sorte que pi — /?, soit la perte de charge totale et p^ la pression de Tatmosphëre, à laquelle a été pris l'air que Ton a comprimé et où se détendra cet air après avoir été utilisé. Le travail mécanique nécessaire à la compression par unité de poids est, comme on a dit (n* 234) :
celui qui pourra être fourni par la détente de cet air, d'après la même formule :
La température étant supposée constante, v^p^^v^pi, et par suite le rendement de la conduite sera exprimé par :
\Pi>
Prenons par exemple la première expérience rapportée
par M. Riedler, dans laquelle la perte de charge totale a été
de 2 atmosphères, soit de 32 pour cent de la pression initiale
eifective qui était de 6 atm. 25. Nous avons — = j";;= et ^ Pi 7.25
-i = r-i-, et nous en déduisons le rendement : Pn 5,25'
La perte d'énergie n'est donc que de 12 1/2 pour cent, an lieu de 32.
9&0. Tables ntunériqnefi. — On trouvera à la fin de ce volume quelques tables destinées à faciliter les calculs relatifs aux fluides élastiques. D'abord la table XIV est un extrait de celles de M. Arson, dont il a été question plus haut (n'' 246)*
8 3. — Mouvement des gaz. S2l
Elle est à double entrée et donne, pour un certain nombre de diamètres usuels, la perte de charge, exprimée en mètres de hauteur d'eau pour mille mètres de longueur, ou en millimètres pour un mètre, correspondants à divers débits, soit d'air atmosphérique, soit de gaz déclairage. Mais comme il a été dit au n*" 247, cette table ne paraît devoir donner des résultats à peu près exacts que pour le gaz d'éclairage, ou pour l'air h faible pression. Lorsque le volume débité devient un peu grand et que la vitesse dépasse deux ou trois mètres par seconde, les pertes de charge qu'on en déduit sont beaucoup trop fortes. D ne faut donc en adopter les résultats qu'à titre d'indication. On obtiendrait en général, comme on a dit, des résultats du même ordre d'approximation en prenant, pour la perte de charge, les résultats donnés par les tables servant au calcul des conduites d'eau.
La table XV donne les valeurs des logarithmes naturels de tous les nombres, de centième en centième, compris entre 1 et 3, et de tous les nombres, de dixième en dixième, compris entre ^ et 10. Pour obtenir, au moyen de cette table, le logarithme naturel d'un nombre quelconque, il faut multiplier (ou diviser) le nombre donné par une puissance de 10 telle que le produit (ou le quotient) soit compris entre 1 et 10 ; puis chercher le logarithme de ce produit (ou de ce quotient) dans la première partie de la table s41 est inférieur à 3 et dans la seconde s'il est compris entre 3 et 10. Au logarithme trouvé, on retranchera (ou on ajoutera) le produit du logarithme naturel de 10, qui est 2,3026, par l'exposant de la puissance de 10 par laquelle on a multiplié (ou divisé) le nombre donné. Exemple : Trouver le logarithme naturel de 0,0818. Multiplions ce nombre par 100 = 10%nous obtiendrons 5,18. La table donne Log. 5,10 = 1,629 et Log.5,20= 1,649. Par interpolation, on trouve donc : Log. 5,18 = 1 ,645
Retranchons 2 X 2,3026 = — 4,605
La différence sera, Log. 0,0518 = — 2,960
Le logarithme est négatif, le nombre donné étant inférieur il l'unité.
De même, s*il s'agil de trouver le nombre correspondant à un logarithme naturel donné, on ajoutera à ce logarithme (ou l'on en retranchera) autant de fois 2,3026 qu'il sera nécessaire pour obtenir un total (ou un reste) positif compris entre 0 et 2,3026 ; la table donnera le nombre correspondant qu'il suffira de diviser (ou de multiplier) par la puissance de iO dont l'exposant sera le nombre de fois que l'on aura ajouté (ou retranché) 2,3026.
Exemple : Trouver le nombre dont le logarithme naturel est 5,617.
Divisons ce logarithme par 2,3026, le quotient est 2 et le reste 1,0118; c'est-à-dire qu'en retranchant du logarithme donné deux fois 2,3026, il reste i,012 environ qui est le logarithme de 2,75. liO nombre dont lelogarithme naturel est 5,617 est donc 2,75X10* = 275.
Les logarithmes naturels figurent dans toutes les formules
relatives aux transformations isothermiques des gaz.
jt i
Enfin la table XVIII donne les puissances — — des nombres
consécutifs, de centième en centième, entre 0 et 1, de dixième en dixième, entre 1 et 10 et d'unité en unité entre 10 et 100.
La puissance —r— des nombres compris entre 100 et 1,000
s'obtiendrait en multipliant celle des nombres correspondants
fc — I compris entre 1 et 100 par la puissance —-r— de 10 qui est
1,953, et ainsi de suite.
La puissance •— 7— se rencontre dans la plupart des formules
relatives aux transformations adiabatiques des gaz.
Cette table XYIII, avec la table XVI, qui donne les inverses
des nombres, rend les calculs très faciles. Ainsi, par exemple,
à la fin du n"* 249, nous avons eu à calculer les puissances -— --
des rapports -— et — -^ . La table XVI donne immédiatement :
^ = 0,138 et A. = 0,190 environ. La table XVIII donne.
8 3. — MOUVEMENT DKS GAZ. 529
0,533 pour 0,13 ol 0,565 pour 0,11, soit par iulerpolalion : 0,562 pour 0,138, puis, 0,617 pour 0,190.
L'emploi de la table XVI, des inverses des nombres, exige un peu d'atlenlion pour placer la virgule dans le résultat. On doit faire précéder ce résultat d'autant de zéros (dont le premier précède la virgule) qu'il y a de chiffres avant la virgule dans le nombre donné ; ou réciproquement, s'il y a un certain nombre de zéros au commencement du nombre donné, il y aura dans le résultat le même nombre de chiffres avant la virgule ; ainsi Tinverse de 286 sera 0,003497 et Tinverse de 0,051 sera 19,6 et ainsi de suite.
Cette table des inverses peut être appliquée, bien entendu, à toutes sortes de calculs dans lesquels elle apporte des sim-* plificalions.
